Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
e
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- Mostrar que essa equação define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
(isto é, existe uma função de duas variáveis que satisfaz a equação em uma vizinhança de algum ponto). - Expressar
e em termos de .
Informações úteis que já temos do enunciado:
- A incógnita dependente é
e as independentes são . - A equação pode ser vista como uma condição
para alguma função .
Passo 2
Defino a função auxiliar
que reúne a equação em uma forma padrão para aplicar o teorema da função implícita:
A ideia é procurar um ponto
tal que
e que a derivada parcial de
em relação a
nesse ponto seja diferente de zero. Se isso ocorrer, o teorema da função implícita garante a existência (e diferenciabilidade) de
localmente.
Passo 3
Procuro um ponto simples que satisfaça a equação. Tentar
e
é natural. Substituindo na equação original:
Logo
é uma solução. Então
satisfaz
.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais de
necessárias. Usando derivadas parciais e regra do produto:
Aqui cada termo foi obtido assim: a derivada de
em relação a qualquer uma das variáveis
é
(porque a exponencial é diferenciável e a derivada da soma no expoente é 1), e a derivada de
em relação a
é
, em relação a
é
, e em relação a
é
.
Passo 5
Avalio
no ponto
:
Como
e
, o teorema da função implícita (aplicado a
) garante que existe uma vizinhança aberta
de
em
e uma única função diferenciável
tal que
para todos
. Portanto a equação define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
perto de
.
Passo 6
Agora obtenho fórmulas para as derivadas parciais de
. Parto da identidade válida para
na vizinhança:
Derivo essa igualdade em relação a
, aplicando a regra da cadeia:
Isolando
obtemos a fórmula padrão da função implícita:
De forma análoga, derivando em relação a
e isolando
:
Passo 7
Substituo as expressões de
que calculei no Passo 4 para obter as fórmulas explícitas em termos de
:
Estas fórmulas valem na vizinhança do ponto onde
(por exemplo, próximas de
onde garantimos existência da função implícita).