Exercício 1 (2 pontos) Utilize o teorema de integrabilidade para justificar a integrabilidade de
f(x, y)= \begin{cases}\cos \left(\frac{1}{x^{2}-2 x-y}\right), & \text { se } x^{2}-2 x-y \neq 0, \\\\ 0, & \text { caso contrário, }\end{cases}á
na região B: x^{2}+y^{2} \leq 2 x. Faça um esboço da região de integração.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}-2x-y}\right), & \text{se }x^{2}-2x-y\neq0,\\[6pt] 0, & \text{se }x^{2}-2x-y=0, \end{cases}
e a região de integração
B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 2x\}.
O que é pedido:
  • Justificar, usando o teorema de integrabilidade, que f é integrável em B.
  • Fazer um esboço (descrever) da região B e da curva onde a função muda de definição.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão que pode anular o denominador é x^{2}-2x-y. A curva onde isso vale zero é dada por
x^{2}-2x-y=0\quad\Longleftrightarrow\quad y=x^{2}-2x.
  • A região B é o disco fechado cuja equação da fronteira é
x^{2}+y^{2}=2x.
(Detalhes geométricos serão feitos nos próximos passos.)]

Passo 2

Primeiro mostramos onde f é contínua e onde pode ser descontínua.
  • Para pontos com x^{2}-2x-y\neq0: a função g(x,y)=x^{2}-2x-y é polinomial (logo contínua), a função h(t)=1/t é contínua para t\neq0 e \cos é contínua. A composição \cos\circ h\circ g é contínua nesses pontos. Logo f é contínua em todo ponto de B que satisfaça x^{2}-2x-y\neq0.
  • Para pontos com x^{2}-2x-y=0: a definição dá f=0 nesses pontos, mas ao nos aproximarmos por pontos onde x^{2}-2x-y\neq0 a quantidade 1/(x^{2}-2x-y) tende a \pm\infty ou oscila, e \cos nessa situação não tem limite único em geral. Portanto, em geral f é descontínua em pontos da curva
C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=x^{2}-2x\}
quando esses pontos pertencem a B. Concluímos que o conjunto dos pontos de descontinuidade de f dentro de B é exatamente
D:=C\cap B=\{(x,y)\in B\mid y=x^{2}-2x\}.

Passo 3

Mostramos que f é limitada em B.
  • Para x^{2}-2x-y\neq0 tem-se \cos(\cdot)\in[-1,1].
  • Para x^{2}-2x-y=0 a função vale 0, também em [-1,1].
Logo f é limitada por -1\le f(x,y)\le1 em todo B. Portanto f é uma função limitada em um conjunto limitado (o disco B é limitado).

Passo 4

Enunciamos o teorema de integrabilidade que vamos usar (forma adequada ao contexto de cálculo multivariado / Riemann):
Teorema (critério de integrabilidade de Riemann para funções limitadas): se F\subset\mathbb{R}^2 é limitado e u:F\to\mathbb{R} é limitada, então u é (Riemann) integrável em F sempre que o conjunto dos pontos de descontinuidade de u tiver medida de Lebesgue 2-dimensional igual a zero (ou seja, medida nula em \mathbb{R}^2).
Então precisamos mostrar que o conjunto de descontinuidade D tem medida 0 em \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Mostramos que D=C\cap B tem medida 0.
  • A curva C é a parábola dada por y=x^{2}-2x. Ela pode ser parametrizada por t\mapsto (t,\,t^{2}-2t), t\in\mathbb{R}. É uma curva de classe C^{\infty} (suave), uma imagem contínua de um intervalo (ou da reta) em \mathbb{R}^2.
  • É um fato padrão (e aqui explico de maneira intuitiva): uma curva suave em \mathbb{R}^2 tem medida bidimensional nula. Intuição/justificativa curta e prática: para qualquer \varepsilon>0 é possível cobrir a curva por uma sequência de retângulos (ou discos) cuja soma das áreas seja menor que \varepsilon (basta tomar retângulos muito estreitos ao longo da curva). Isso mostra que a medida de Lebesgue (área) de C é zero. Como D\subset C, segue que a medida de D também é zero.
Portanto o conjunto de pontos de descontinuidade de f em B tem medida 0.

Passo 6

Aplicação do teorema e conclusão:
  • Já mostramos que f é limitada em B.
  • Já mostramos que o conjunto de descontinuidade de f em B tem medida 0.
Pelo critério de integrabilidade citado no Passo 4, f é (Riemann) integrável sobre B.

Passo 7

Para esboçar [B) e a curva C, siga estes passos práticos:
  • A equação da fronteira do disco é
x^{2}+y^{2}=2x,
que pode ser reescrita completando quadrado:
(x-1)^{2}+y^{2}=1^{2}.
Isto mostra que B é o disco fechado de centro (1,0) e raio 1.
  • A curva de possíveis descontinuidades é a parábola
y=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1,
ou seja, uma parábola com vértice em (1,-1) que abre para cima.
  • Interseções importantes entre a parábola e a fronteira do disco obtêm-se resolvendo simultaneamente
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=2x,\\[4pt] y=x^{2}-2x. \end{cases}
Substituindo e simplificando obtém-se a equação
x(x-1)^{2}(x-2)=0,
cujas soluções são x=0,\,x=1,\,x=2\]. Os pontos correspondentes são \((0,0), (1,-1) e (2,0). Portanto a parábola corta a fronteira do disco nesses três pontos (em x=1 há tangência/contato de ordem 2).
  • Desenho mental / esboço: desenhe o círculo de centro (1,0) e raio 1. Dentro dele, trace a parábola com vértice em (1,-1) que sobe e atravessa o círculo saindo pelos pontos (0,0) e (2,0); o vértice (1,-1) fica sobre a fronteira inferior do círculo. O conjunto B é todo o disco preenchido; a curva C é a linha onde f muda de definição (os pontos de descontinuidade), mas essa linha tem área nula.]

Resposta

f é (Riemann) integrável em B.
Esboço: B é o disco (x-1)^{2}+y^{2}\le1; a curva de descontinuidade é a parábola y=x^{2}-2x, que intersecta a fronteira do disco nos pontos (0,0), (1,-1) e (2,0).

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