Suponha que, para todo t, f(t, 2 t)=t^{2}-3 t. Mostre que \frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=-\frac{\partial f}{\partial y}(1,2).

Passo 1

O enunciado diz que, para todo t,
f(t,2t)=t^{2}-3t.
O que se pede (a princípio) é mostrar que
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = - \frac{\partial f}{\partial y}(1,2).
Informações relevantes:
  • A igualdade acima vale para todo t, em particular para t=1 (o ponto (1,2) pertence à reta y=2x).
  • Não há outras hipóteses escritas no enunciado além da igualdade ao longo da reta y=2x. Vou usar apenas isso.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a função unidimensional obtida restringindo f à reta y=2x. Defina
g(t) := f(t,2t).
Como g é composição de f com a curva t\mapsto (t,2t), se f for diferenciável então g é diferenciável e vale a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia para esta composição diz explicitamente:
g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(t,2t)\cdot\frac{d}{dt}(t) \;+\; \frac{\partial f}{\partial y}(t,2t)\cdot\frac{d}{dt}(2t).
Como \dfrac{d}{dt}(t)=1 e \dfrac{d}{dt}(2t)=2, obtemos
g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(t,2t) + 2\,\frac{\partial f}{\partial y}(t,2t).
Explicando a fórmula de forma simples: g'(t) é a derivada de f ao longo da reta y=2x; essa derivada é o produto escalar do gradiente de f em (t,2t) com o vetor velocidade (1,2) da curva, i.e.
g'(t) = \nabla f(t,2t)\cdot(1,2) = f_x(t,2t)\cdot 1 + f_y(t,2t)\cdot 2.

Passo 3

Podemos calcular g'(t) também diretamente a partir da expressão dada para g(t). Como g(t)=t^2-3t, tem-se
g'(t)=2t-3.
Igualando com a expressão obtida pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(t,2t) + 2\,\frac{\partial f}{\partial y}(t,2t) = 2t-3,
para todo t.
Em particular, avaliando em t=1 (que corresponde ao ponto (1,2)) obtemos a relação linear entre as derivadas parciais em (1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) + 2\,\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = -1.
Observação didática: essa é a informação que a igualdade ao longo da reta fornece — ela dá uma única equação linear envolvendo as duas incógnitas f_x(1,2) e f_y(1,2). Geometricamente, saber f ao longo de uma reta fixa determina apenas a projeção do gradiente nessa direção (a derivada direcional nessa direção), não determina o gradiente completo.

Passo 4

Agora a parte crucial: a equação obtida em geral NÃO permite deduzir que f_x(1,2) = -f_y(1,2). Para ver isso de forma clara e construtiva, construo um contraexemplo simples (isto é, uma função f que satisfaz a hipótese do enunciado mas para a qual a igualdade pedida é falsa).
Considere, para uma constante real c, a função
f(x,y) := x^{2}-3x + c\,(y-2x).
Verifique primeiro que, para qualquer t,
f(t,2t) = t^{2}-3t + c(2t-2t) = t^{2}-3t,
logo a hipótese do enunciado é satisfeita por toda constante c. Agora calcule as derivadas parciais gerais:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x-3 -2c, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = c.
Em particular, no ponto (1,2) obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = -1 -2c, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = c.
Para escolher um caso concreto, tome c=0. Então
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = -1,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=0,
e claramente \frac{\partial f}{\partial x}(1,2)\neq -\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) (porque -1\neq 0). Portanto existe uma função f que satisfaz f(t,2t)=t^{2}-3t para todo t mas para a qual a igualdade desejada não é verdadeira.

Passo 5

Conclusão lógica e didática: a igualdade dada ao longo da reta y=2x fornece apenas a condição linear
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) + 2\,\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = -1,
e não determina os valores das duas derivadas parciais separadamente. Assim não é possível (em geral) provar que
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = -\frac{\partial f}{\partial y}(1,2),
a menos que haja informação adicional sobre f (por exemplo informação sobre f em outras direções ou uma restrição que ligue as duas derivadas). O enunciado, tal como está, não fornece essa informação extra; forneci um contraexemplo explícito para deixar isso claro.

Resposta

A afirmação é falsa em geral. O que se pode provar a partir da hipótese é
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) + 2\,\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = -1,
e existe um contraexemplo (por exemplo f(x,y)=x^{2}-3x) que satisfaz f(t,2t)=t^{2}-3t para todo t mas para o qual \frac{\partial f}{\partial x}(1,2)\neq -\frac{\partial f}{\partial y}(1,2).

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