Suponha que, para todo
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que, para todo
,
O que se pede (a princípio) é mostrar que
Informações relevantes:
- A igualdade acima vale para todo
, em particular para (o ponto pertence à reta ). - Não há outras hipóteses escritas no enunciado além da igualdade ao longo da reta
. Vou usar apenas isso.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a função unidimensional obtida restringindo
à reta
. Defina
Como
é composição de
com a curva
, se
for diferenciável então
é diferenciável e vale a regra da cadeia (chain rule). A regra da cadeia para esta composição diz explicitamente:
Como
e
, obtemos
Explicando a fórmula de forma simples:
é a derivada de
ao longo da reta
; essa derivada é o produto escalar do gradiente de
em
com o vetor velocidade
da curva, i.e.
Passo 3
Podemos calcular
também diretamente a partir da expressão dada para
. Como
, tem-se
Igualando com a expressão obtida pela regra da cadeia:
para todo
.
Em particular, avaliando em
(que corresponde ao ponto
) obtemos a relação linear entre as derivadas parciais em
:
Observação didática: essa é a informação que a igualdade ao longo da reta fornece — ela dá uma única equação linear envolvendo as duas incógnitas
e
. Geometricamente, saber
ao longo de uma reta fixa determina apenas a projeção do gradiente nessa direção (a derivada direcional nessa direção), não determina o gradiente completo.
Passo 4
Agora a parte crucial: a equação obtida em geral NÃO permite deduzir que
. Para ver isso de forma clara e construtiva, construo um contraexemplo simples (isto é, uma função
que satisfaz a hipótese do enunciado mas para a qual a igualdade pedida é falsa).
Considere, para uma constante real
, a função
Verifique primeiro que, para qualquer
,
logo a hipótese do enunciado é satisfeita por toda constante
. Agora calcule as derivadas parciais gerais:
Em particular, no ponto
obtemos
Para escolher um caso concreto, tome
. Então
e claramente
(porque
). Portanto existe uma função
que satisfaz
para todo
mas para a qual a igualdade desejada não é verdadeira.
Passo 5
Conclusão lógica e didática: a igualdade dada ao longo da reta
fornece apenas a condição linear
e não determina os valores das duas derivadas parciais separadamente. Assim não é possível (em geral) provar que
a menos que haja informação adicional sobre
(por exemplo informação sobre
em outras direções ou uma restrição que ligue as duas derivadas). O enunciado, tal como está, não fornece essa informação extra; forneci um contraexemplo explícito para deixar isso claro.
Resposta
A afirmação é falsa em geral. O que se pode provar a partir da hipótese é
e existe um contraexemplo (por exemplo
) que satisfaz
para todo
mas para o qual
.