1. Mostre que cada função abaixo é solução da Equação de Laplace
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=0
onde u=u(x, y).
4. u=e^x-y

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função u(x,y)=e^x-y satisfaz a equação
partial^2 upartial x^2 - partial^2 upartial y^2 = 0
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u em relação a x e y e substituir na equação.

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas parciais:
partial upartial x = e^x - y,
portanto
partial^2 upartial x^2 = e^x - y
Em seguida,
partial upartial y = -e^x - y,
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partial^2 upartial y^2 = -l(-e^x - yr) = e^x - y
Substituindo na equação dada:
partial^2 upartial x^2 - partial^2 upartial y^2 = e^x - y - e^x - y = 0
Isso mostra que u(x,y)=e^x-y satisfaz a equação.

Resposta

A função u(x,y)=e^x-y satisfaz a equação de Laplace uxx-uyy=0 pois ao calcularmos as derivadas de segunda ordem obtemos uxx=e^x-y e uyy=e^x-y, resultando em zero na diferença.

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