Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a série
converge ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de Séries e Sequências na matemática, mais especificamente sobre convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento dos termos da série quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série para facilitar a análise. A série dada é:
Podemos dividir o numerador pelos termos do denominador:
Então, a série se torna:
Passo 3
Agora, vamos separar a série em duas séries distintas:
Vamos analisar cada uma separadamente.
Passo 4
Primeira série:
Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se
. Aqui,
, então essa série converge. A soma dela é:
Passo 5
Segunda série:
Essa é uma série constante onde cada termo é igual a 1. Quando somamos infinitos termos iguais a 1, o resultado tende ao infinito. Ou seja, essa série não converge; ela diverge.
Passo 6
Finalmente, voltando à série original:
Já que a primeira parte converge (
) e a segunda parte diverge (vai para o infinito), o comportamento geral da série é divergente.
Resposta
A série
não converge; ela diverge para o infinito.