Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
sum 1+5^n5^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a série converge ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de Séries e Sequências na matemática, mais especificamente sobre convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento dos termos da série quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série para facilitar a análise. A série dada é:
sum 1 + 5^n5^n
Podemos dividir o numerador pelos termos do denominador:
15^n + 5^n5^n = 15^n + 1
Então, a série se torna:
sum ( 15^n + 1 )

Passo 3

Agora, vamos separar a série em duas séries distintas:
sum 15^n + sum 1
Vamos analisar cada uma separadamente.

Passo 4

Primeira série: sum 15^n = 11 - 15 = 145 = 54
Essa é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se . Aqui, , então essa série converge. A soma dela é:

Passo 5

Segunda série:
Essa é uma série constante onde cada termo é igual a 1. Quando somamos infinitos termos iguais a 1, o resultado tende ao infinito. Ou seja, essa série não converge; ela diverge.

Passo 6

Finalmente, voltando à série original:
sum ( 15^n + 1 ) = sum 15^n + sum 1
Já que a primeira parte converge ( ) e a segunda parte diverge (vai para o infinito), o comportamento geral da série é divergente.

Resposta

A série não converge; ela diverge para o infinito.

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