Sejam
séries convergentes, verificar se a série
é convergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas séries,
e
, que são convergentes. Queremos descobrir se a combinação dessas séries, especificamente a série
, também é convergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries e operações com séries convergentes.
Passo 2
Lembre-se que uma série é a soma de termos de uma sequência. Quando dizemos que uma série é convergente, significa que a soma dos seus termos se aproxima de um número específico à medida que somamos mais termos. Se
e
são convergentes, então suas somas têm limites finitos.
Passo 3
Agora, consideramos a série
. Podemos separar essa série em duas partes usando as propriedades das séries:
Isso funciona porque a soma de termos pode ser distribuída sobre a operação de soma.
Passo 4
Vamos analisar cada parte separadamente. Sabemos que
é convergente, então multiplicar cada termo por 3 também resultará em uma série convergente. Isso porque se uma série converge, qualquer múltiplo constante dela também converge:
Como
converge,
também converge.
Passo 5
Já temos que
é convergente por hipótese. Assim, a diferença entre duas séries convergentes também é convergente. Portanto:
é a diferença entre duas séries convergentes, o que implica que essa série também converge.
Resposta
A série
é convergente.