Sejam sum an e sum bn séries convergentes, verificar se a série sum(3 an-bn) é convergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas séries, sum an e sum bn, que são convergentes. Queremos descobrir se a combinação dessas séries, especificamente a série sum(3 an - bn), também é convergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries e operações com séries convergentes.

Passo 2

Lembre-se que uma série é a soma de termos de uma sequência. Quando dizemos que uma série é convergente, significa que a soma dos seus termos se aproxima de um número específico à medida que somamos mais termos. Se sum an e sum bn são convergentes, então suas somas têm limites finitos.

Passo 3

Agora, consideramos a série sum(3 an - bn). Podemos separar essa série em duas partes usando as propriedades das séries:
sum(3 an - bn) = sum 3 an - sum bn
Isso funciona porque a soma de termos pode ser distribuída sobre a operação de soma.

Passo 4

Vamos analisar cada parte separadamente. Sabemos que sum an é convergente, então multiplicar cada termo por 3 também resultará em uma série convergente. Isso porque se uma série converge, qualquer múltiplo constante dela também converge:
sum 3 an = 3 sum an
Como sum an converge, 3 sum an também converge.

Passo 5

Já temos que sum bn é convergente por hipótese. Assim, a diferença entre duas séries convergentes também é convergente. Portanto:
sum 3 an - sum bn
é a diferença entre duas séries convergentes, o que implica que essa série também converge.

Resposta

A série sum(3 an - bn) é convergente.

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