Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
sum n1+n!

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty n1+n!. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação, sabendo que fatoriais crescem muito mais rápido que polinômios.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação, note que para todo n>=1 vale
1 + n! ;>; n!
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0 < n1+n! < nn! = 1(n-1)!

Passo 3

Agora lembramos que a série
sumn=1^infty 1(n-1)!
é equivalente a
sumk=0^infty 1k!
e essa última converge (ela soma e, número de Euler finito).

Passo 4

Como 0 <= n1+n! <= 1(n-1)! e sum 1/(n-1)! é convergente, pelo teste de comparação a série original também converge (e até absolutamente).

Resposta

A série sumn=1^infty n1+n! converge (convergência absoluta) pelo teste de comparação.

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