Mostre que para cada função
dada,
não existe:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite da função
quando
não existe. O conteúdo é limites em várias variáveis e vamos usar o teste de dependência de caminho: se caminhos distintos levarem a valores diferentes, o limite total não existe.
Passo 2
Para começar, testamos caminhos simples do tipo reta
. Substituindo
em
temos
Como
, esse quociente tende a 0. Logo, em qualquer reta
, o limite é 0.
Passo 3
Como todas as retas dão limite 0, ainda não provamos a inexistência. Precisamos de um caminho que faça o denominador se anular na mesma ordem do numerador. Observamos que se
, o comportamento muda. Então escolhemos o caminho
com
, para criar um pequeno desvio.
Passo 4
Substituindo esse
em
e
temos as expansões:
Em seguida, o numerador e o denominador de
são:
Passo 5
Dividindo numerador por denominador, obtemos
Note que esse valor depende de
. Por exemplo, se
dá
, e se
dá
.
Passo 6
Visto que o limite varia conforme escolhemos o parâmetro
do caminho, concluímos que o limite de
quando
não existe.
Resposta
O limite não existe.