Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
f(x, y)=x^2 y^2x^2-y^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite da função f(x,y)=x^2y^2x^2-y^3 quando (x,y)to(0,0) não existe. O conteúdo é limites em várias variáveis e vamos usar o teste de dependência de caminho: se caminhos distintos levarem a valores diferentes, o limite total não existe.

Passo 2

Para começar, testamos caminhos simples do tipo reta y=kx. Substituindo y=kx em f temos
f(x,kx)=x^2,(kx)^2x^2-(kx)^3=k^2x^4x^2(1-k^3x)=k^2x^21-k^3x
Como xto0, esse quociente tende a 0. Logo, em qualquer reta y=kx, o limite é 0.

Passo 3

Como todas as retas dão limite 0, ainda não provamos a inexistência. Precisamos de um caminho que faça o denominador se anular na mesma ordem do numerador. Observamos que se y^3approx x^2, o comportamento muda. Então escolhemos o caminho
y=x^2/3+a,x^2,
com aneq0, para criar um pequeno desvio.

Passo 4

Substituindo esse y em y^2 e y^3 temos as expansões:
y^2 = x^4/3 + 2a,x^8/3 + O(x^10/3),
y^3 = x^2 + 3a,x^10/3 + O(x^14/3)
Em seguida, o numerador e o denominador de f são:
numerador=x^2y^2 = x^2(x^4/3 + O(x^8/3)) = x^10/3 + O(x^14/3),
denominador=x^2 - y^3 = x^2 - (x^2 +3a,x^10/3 + O(x^14/3)) = -3a,x^10/3 + O(x^14/3)

Passo 5

Dividindo numerador por denominador, obtemos
f(x,y)=x^10/3+O(x^14/3)-3a,x^10/3+O(x^14/3)longrightarrow -13aquando xto0
Note que esse valor depende de a. Por exemplo, se a=1 -1/3, e se a=2 -1/6.

Passo 6

Visto que o limite varia conforme escolhemos o parâmetro a do caminho, concluímos que o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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