Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
f(x, y)=x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que lim(x,y)to(0,0) f(x,y) não existe, onde
f(x,y)=x^2y^2x^2y^2+(x-y)^2
Isso cai no conteúdo de limites de funções de duas variáveis e requer comparar valores ao longo de diferentes trajetórias.

Passo 2

Para funções de duas variáveis, se o limite existe, o valor ao aproximar o ponto pelo caminho y=phi(x) deve ser o mesmo para qualquer escolha de phi(x). Se acharmos dois caminhos que dão limites distintos, concluímos que o limite geral não existe.

Passo 3

No caminho y=0, temos
f(x,0)=x^2cdot0^2x^2cdot0^2+(x-0)^2=00+x^2=0
Assim, ao longo de y=0 o limite é 0.

Passo 4

No caminho y=x, a expressão fica
f(x,x)=x^2x^2x^2x^2+(x-x)^2=x^4x^4+0=1
Logo, ao longo de y=x o limite é 1.

Passo 5

Como ao longo de y=0 o limite é 0 e ao longo de y=x o limite é 1, vemos valores diferentes. Portanto, lim(x,y)to(0,0) f(x,y) não existe.

Resposta

Não existe.

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