Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:
f(x, y)=x^2 y^3x^2-y^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para a função f(x,y)=x^2y^3x^2-y^3 não existe lim(x,y)to(0,0)f(x,y). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e usaremos o fato de que, se o limite existisse, todas as trajetórias de aproximação ao ponto teriam de dar o mesmo valor.

Passo 2

Lembre-se do conceito: dizemos que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=L só se, ao longo de qualquer caminho que leve (x,y) a (0,0), os valores de f(x,y) tenderem a L. Basta achar dois caminhos com limites distintos para concluir que o limite não existe.

Passo 3

Primeiro caminho: pela reta y=0. Substituindo em f temos
f(x,0)=x^2cdot0^3x^2-0^3=0
Logo, ao longo de y=0, f(x,y)to0 quando xto0.

Passo 4

Segundo caminho: escolhemos uma curva em que a razão x^2y^3x^2-y^3 seja constante. Implicitamente definimos
x^2-y^3=c,x^2y^3,
o que dá
x^2=y^31-cy^3
Parametrizando por y=t, x=raiztfract^31-ct^3, vemos que (x,y)to(0,0) quando tto0.

Passo 5

Substituindo essa parametrização em f obtemos
f=x^2y^3x^2-y^3=x^2y^3c,x^2y^3=1c
Logo, ao longo dessa curva o limite é 1/c, que depende de c.

Passo 6

Basta escolher c=1 para obter um segundo caminho cujo limite é 1, diferente de 0 encontrado no primeiro caminho. Como dois caminhos dão limites distintos, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existeã

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x2y3}{x2-y3}não existe.

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