Mostre que para cada função
dada,
não existe:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que para a função
não existe
. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e usaremos o fato de que, se o limite existisse, todas as trajetórias de aproximação ao ponto teriam de dar o mesmo valor.
Passo 2
Lembre-se do conceito: dizemos que
só se, ao longo de qualquer caminho que leve
a
, os valores de
tenderem a
. Basta achar dois caminhos com limites distintos para concluir que o limite não existe.
Passo 3
Primeiro caminho: pela reta
. Substituindo em
temos
Logo, ao longo de
,
quando
.
Passo 4
Segundo caminho: escolhemos uma curva em que a razão
seja constante. Implicitamente definimos
o que dá
Parametrizando por
,
, vemos que
quando
.
Passo 5
Substituindo essa parametrização em
obtemos
Logo, ao longo dessa curva o limite é
, que depende de
.
Passo 6
Basta escolher
para obter um segundo caminho cujo limite é
, diferente de
encontrado no primeiro caminho. Como dois caminhos dão limites distintos, concluímos que
Resposta
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x2y3}{x2-y3}não existe.