Use a Regra da Cadeia para determinar
e
:
, com
e
Passo 1
Aqui a gente quer achar as parciais de s em relação a u e v usando a regra da cadeia. O problema é de derivadas parciais em funções compostas: temos
onde
Passo 2
Primeiro, calculamos as “meio derivadas” de s em relação a cada uma das variáveis x,y,z,w, tratando as outras como constantes. Como
o derivada em relação a x é
e analogamente
Passo 3
Agora, derivamos x,y,z,w em relação a u e a v:
Para u:
Para u:
Para v:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo cada termo:
Passo 5
Agora para
a mesma ideia:
Passo 6
Por fim, podemos usar
,
,
e
para simplificar:
Para :
Para
logo
Para
:
logo
Resposta
[\frac{\partial s}{\partial u} = \frac{u\bigl(2 + v^2 + \frac1{v^2}\bigr)}{s}]
[\frac{\partial s}{\partial v} = \frac{2v + u^2v - \frac{u2}{v3}}{s}]