Use a Regra da Cadeia para determinar partial spartial u e partial spartial v :
s=raizx^2+y^2+z^2+w^2, com x=u+v, y=u-v, z=u v e w=u / v

Passo 1

Aqui a gente quer achar as parciais de s em relação a u e v usando a regra da cadeia. O problema é de derivadas parciais em funções compostas: temos
s = raizx^2 + y^2 + z^2 + w^2,
onde
x = u + v, y = u - v, z = u v, w = u v

Passo 2

Primeiro, calculamos as “meio derivadas” de s em relação a cada uma das variáveis x,y,z,w, tratando as outras como constantes. Como
s = l(x^2 + y^2 + z^2 + w^2r)^1/2,
o derivada em relação a x é
partial spartial x = 12l(x^2+cdots+w^2r)^-1/2cdot 2x = x s,
e analogamente
partial spartial y = y s, partial spartial z = z s, partial spartial w = w s

Passo 3

Agora, derivamos x,y,z,w em relação a u e a v:
Para u:
partial xpartial u=1, partial ypartial u=1, partial zpartial u=v, partial wpartial u=1v
Para v:
partial xpartial v=1, partial ypartial v=-1, partial zpartial v=u, partial wpartial v=-uv^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial spartial u:
partial spartial u = partial spartial xpartial xpartial u + partial spartial ypartial ypartial u + partial spartial zpartial zpartial u + partial spartial wpartial wpartial u
Substituindo cada termo:
partial spartial u = x s cdot 1 + y s cdot 1 + z s cdot v + w s cdot 1v = x + y + vz + 1v ws

Passo 5

Agora para partial spartial v a mesma ideia:
partial spartial v = partial spartial xpartial xpartial v + partial spartial ypartial ypartial v + partial spartial zpartial zpartial v + partial spartial wpartial wpartial v
partial spartial v = x s cdot 1 + y s cdot (-1) + z s cdot u + w s cdot l(- uv^2r) = x - y + uz - uv^2ws

Passo 6

Por fim, podemos usar x=u+v, y=u-v, z=uv e w=tfrac u v para simplificar:
Para partial s/partial u:
x+y=2u, vz=u v^2, tfrac1v w=tfrac uv^2
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partial spartial u = 2u + u v^2 + uv^2s = ul(2 + v^2 + 1v^2r)s
Para partial s/partial v:
x-y=2v, uz=u^2v, -tfrac uv^2w=-tfracu^2v^3
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partial spartial v = 2v + u^2v - tfracu^2v^3s

Resposta

[\frac{\partial s}{\partial u} = \frac{u\bigl(2 + v^2 + \frac1{v^2}\bigr)}{s}]
[\frac{\partial s}{\partial v} = \frac{2v + u^2v - \frac{u2}{v3}}{s}]

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