Mostre que cada função nos Exercícios 63-68 satisfaz uma equação de Laplace.
f(x, y, z) = e^(3 x + 4 y) cos(5 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função satisfaz a equação de Laplace. Isso envolve usar o conceito de Laplaciano, que é uma operação que soma as segundas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja, vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a , e e verificar se a soma delas dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Para uma função , o Laplaciano é dado por:
Queremos mostrar que .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Por último, vamos derivar em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 6

Agora, vamos somar todas as segundas derivadas:
Somando os coeficientes:
Portanto:

Resposta

A função satisfaz a equação de Laplace, pois .

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