Mostre que cada função nos Exercícios 63-68 satisfaz uma equação de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace. Isso envolve usar o conceito de Laplaciano, que é uma operação que soma as segundas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja, vamos precisar calcular as segundas derivadas de
em relação a
,
e
e verificar se a soma delas dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Para uma função
, o Laplaciano é dado por:
Queremos mostrar que
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
E a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Por último, vamos derivar em relação a
:
E a segunda derivada em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos somar todas as segundas derivadas:
Somando os coeficientes:
Portanto:
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace, pois
.