Mostre que as funções nos Exercícios 69-75 são todas soluções da equação de onda.
w = 5 cos(3x + 3ct) + e^(x + ct)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente mostrar que as funções dos Exercícios 69-75 são soluções da equação de onda. A função que vamos analisar é:
Então, o conteúdo que vamos precisar aqui é a equação de onda e como verificar se uma função é solução dela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e para ver se elas satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Isso significa que a segunda derivada da função em relação ao tempo deve ser igual a vezes a segunda derivada de em relação à posição . Se isso for verdadeiro para nossa função, então ela é uma solução da equação de onda.

Passo 3

Vamos calcular a primeira e segunda derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada de em relação a :
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
E a segunda derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir os resultados que obtivemos na equação de onda e verificar se ela é satisfeita.
A equação de onda é:
Substituindo:
Distribuindo o no lado direito:

Resposta

Como ambos os lados da equação de onda são iguais após substituir as derivadas, concluímos que a função
é, de fato, uma solução da equação de onda.

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