Mostre que as funções nos Exercícios 69-75 são todas soluções da equação de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente mostrar que as funções dos Exercícios 69-75 são soluções da equação de onda. A função que vamos analisar é:
Então, o conteúdo que vamos precisar aqui é a equação de onda e como verificar se uma função é solução dela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
para ver se elas satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Isso significa que a segunda derivada da função
em relação ao tempo
deve ser igual a
vezes a segunda derivada de
em relação à posição
. Se isso for verdadeiro para nossa função, então ela é uma solução da equação de onda.
Passo 3
Vamos calcular a primeira e segunda derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada de
em relação a
:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os resultados que obtivemos na equação de onda e verificar se ela é satisfeita.
A equação de onda é:
Substituindo:
Distribuindo o
no lado direito:
Resposta
Como ambos os lados da equação de onda são iguais após substituir as derivadas, concluímos que a função
é, de fato, uma solução da equação de onda.