Mostre que para cada função f dada, lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
lim(x,y)to(0,0) f(x,y) com f(x,y)=x^4+3x^2y^2+2xy^3(x^2+y^2)^2
não existe. O conteúdo aqui é teste de dependência de caminho em limites de funções de duas variáveis: se ao aproximar de (0,0) por duas retas diferentes obtemos valores distintos, o limite não existe.

Passo 2

Vamos aproximar (x,y)to(0,0) pela reta y=mx, com m fixo. Substituindo em f:
x^2+y^2=x^2+m^2x^2=x^2(1+m^2),
então
(x^2+y^2)^2=x^4(1+m^2)^2
No numerador,
x^4+3x^2y^2+2xy^3 =x^4+3x^2(m^2x^2)+2x,(m^3x^3) =x^4l(1+3m^2+2m^3r)

Passo 3

Logo, ao longo de y=mx,
f(x,mx) =x^4l(1+3m^2+2m^3r)x^4(1+m^2)^2 =1+3m^2+2m^3(1+m^2)^2
Quando xto0, esse valor é constante e vale
L(m)=1+3m^2+2m^3(1+m^2)^2

Passo 4

Para mostrar que o limite não existe, basta ver que L(m) depende de m. Por exemplo:
  • Se m=0, então L(0)=1+0+0(1+0)^2=1
  • Se m=1, então L(1)=1+3+2(1+1)^2=64=tfrac32
Como 1neqtfrac32, o valor do limite varia conforme a reta de aproximação.

Resposta

O limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe, pois caminhos distintos dão limites diferentes (por exemplo, 1 e tfrac32).

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