Mostre que cada uma das seguintes séries converge e determine sua soma.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a série
converge e encontrar a soma dela. Nós vamos usar conceitos de séries infinitas e simplificação de termos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série:
Nosso objetivo é simplificar esse termo para facilitar a soma da série. Vamos separar o numerador em duas partes:
Passo 3
Vamos simplificar cada fração separadamente. Começando com a primeira parte:
Isso acontece porque
, então os termos se cancelam.
Agora, a segunda parte:
Aqui, simplificamos
para
e percebemos que
.
Passo 4
Agora, nossa série original fica dividida em duas séries mais simples:
Vamos resolver cada uma dessas séries separadamente.
Passo 5
Primeira série:
Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se
, o que é verdade aqui. A soma de uma série geométrica é dada por:
Onde
(primeiro termo) e
. Então:
Passo 6
Segunda série:
Vamos simplificar essa expressão usando frações parciais. Note que
, então podemos escrever:
Então, a série se torna:
Essa é uma série telescópica, onde a maioria dos termos se cancelam. Vamos ver os primeiros termos:
Você pode ver que
,
, etc., se cancelam, deixando apenas:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Resposta
A série converge e a sua soma é
.