Mostre que cada uma das seguintes séries converge e determine sua soma.
(a) sumn=1^infty 4 n^2-1+3^n-13^n(2 n+1)(2 n-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a série converge e encontrar a soma dela. Nós vamos usar conceitos de séries infinitas e simplificação de termos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série:
4n^2 - 1 + 3^n-13^n(2n + 1)(2n - 1)
Nosso objetivo é simplificar esse termo para facilitar a soma da série. Vamos separar o numerador em duas partes:
4n^2 - 13^n(2n + 1)(2n - 1) + 3^n-13^n(2n + 1)(2n - 1)

Passo 3

Vamos simplificar cada fração separadamente. Começando com a primeira parte:
4n^2 - 13^n(2n + 1)(2n - 1) = 13^n
Isso acontece porque 3^n-13^n(2n + 1)(2n - 1) = 13 cdot (4n^2 - 1) , então os termos se cancelam.
Agora, a segunda parte:
Aqui, simplificamos para e percebemos que .

Passo 4

Agora, nossa série original fica dividida em duas séries mais simples:
sumn=1^infty ( 13^n + 13(4n^2 - 1) ) = sumn=1^infty 13^n + 13 sumn=1^infty 14n^2 - 1
Vamos resolver cada uma dessas séries separadamente.

Passo 5

Primeira série: S = a1 - r
Essa é uma série geométrica com razão S = 131 - 13 = 1323 = 12 . Sabemos que uma série geométrica converge se , o que é verdade aqui. A soma de uma série geométrica é dada por:
Onde (primeiro termo) e . Então:

Passo 6

Segunda série: 14n^2 - 1 = 12 ( 12n - 1 - 12n + 1 )
Vamos simplificar essa expressão usando frações parciais. Note que sumn=1^infty 14n^2 - 1 = 12 sumn=1^infty ( 12n - 1 - 12n + 1 ) , então podemos escrever:
12 ( ( 11 - 13 ) + ( 13 - 15 ) + ( 15 - 17 ) + cdots )
Então, a série se torna:
12 times 1 = 12
Essa é uma série telescópica, onde a maioria dos termos se cancelam. Vamos ver os primeiros termos:
Você pode ver que , , etc., se cancelam, deixando apenas:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
sumn=1^infty 13^n + 13 sumn=1^infty 14n^2 - 1 = 12 + 13 times 12 = 12 + 16 = 23

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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