1. y^prime=y+xx
  2. d xd y=x y^32 y^4+x^4
  3. d xd y=x y^32 y^4+x^4
  4. y^prime=2 x yx^2-y^2, no ponto P(1,1)
  5. y^prime=x^2+y^2x y
  6. y^prime=x^4+3 x^2 y^2+y^4x^3 y, x>0, no ponto P(1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver cada uma dessas equações diferenciais que você me enviou. A matéria aqui envolve derivadas e resolução de equações diferenciais. Vamos precisar usar fórmulas básicas de derivação e métodos de separação de variáveis ou substituição para resolver cada caso.

Exercício 1

Passo 2

A equação dada é:
y' = y + xx
Primeiro, vamos reescrever essa equação para facilitar a resolução:
y' = yx + 1
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma:
y' + P(x)y = Q(x)
onde $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = 1 $.

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
1x y' - 1x^2 y = 1x
Isso simplifica para:
ddx(yx) = 1x

Passo 5

Integrando ambos os lados:
yx = integral 1x dx = ln|x| + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por $ x $:
x

Passo 7

Agora, vamos para o segundo exercício. A equação é:
dxdy = x y^32 y^4 + x^4
Vamos resolver essa equação diferencial, que envolve derivadas implícitas.

Passo 8

Primeiro, reescrevemos a equação para facilitar a manipulação:
dxdy = x y^32 y^4 + x^4
Essa é uma equação diferencial não linear, e para resolver, podemos tentar uma substituição. Vamos considerar $ v = \frac{x}{y} $, ou seja, $ x = v y $.

Passo 9

Derivando $ x = v y $ em relação a $ y $:
x = v y

Passo 10

Substituindo na equação original:
v + y dvdy = v y cdot y^32 y^4 + v^4 y^4 = v y^4y^4(2 + v^4) = v2 + v^4

Passo 11

Reorganizando a equação:
v + y dvdy = v2 + v^4
y dvdy = v2 + v^4 - v = v ( 12 + v^4 - 1 ) = v ( 1 - (2 + v^4)2 + v^4 ) = -2 v - v^52 + v^4

Passo 12

Separando as variáveis:
2 + v^4-2 v - v^5 dv = 1y dy
Simplificando o lado esquerdo:
2 + v^4-v(2 + v^4) dv = -1v dv

Passo 13

Integrando ambos os lados:
-integral 1v dv = integral 1y dy
-ln|v| = ln|y| + C

Passo 14

Substituindo $ v = \frac{x}{y} $:
v = xy
-ln|xy| = ln|y| + C

Passo 15

Exponenciando ambos os lados:
yx = K y
onde $ K = e^{C} $, constante arbitrária.

Passo 16

Resolvendo para $ x $:
x
Como $ K $ é constante, $ x $ é constante, o que indica que a solução é uma reta vertical.

Passo 17

Vamos para o terceiro exercício, que na verdade é igual ao segundo:
dxdy = x y^32 y^4 + x^4
Como já resolvemos esse caso no exercício anterior, a solução permanece a mesma.

Passo 18

Agora, o quarto exercício:
y' = 2 x yx^2 - y^2
no ponto $ P(1,1) $.
Vamos resolver essa equação diferencial e encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 19

A equação dada é:
dydx = 2 x yx^2 - y^2
Essa é uma equação diferencial homogênea, pois os termos no numerador e denominador são de mesma ordem.

Passo 20

Vamos fazer a substituição $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $.
Derivando em relação a $ x $:
v = yx

Passo 21

Substituindo na equação original:
v + x dvdx = 2 x (v x)x^2 - (v x)^2 = 2 v x^2x^2(1 - v^2) = 2 v1 - v^2

Passo 22

Reorganizando a equação:
x dvdx = 2 v1 - v^2 - v = v ( 21 - v^2 - 1 ) = v ( 2 - (1 - v^2)1 - v^2 ) = v ( 1 + v^21 - v^2 )

Passo 23

Separando as variáveis:
1 - v^2v (1 + v^2) dv = 1x dx
Simplificando o lado esquerdo:
1 - v^2v (1 + v^2) = 1v - 2 v1 + v^2

Passo 24

Integrando ambos os lados:
integral ( 1v - 2 v1 + v^2 ) dv = integral 1x dx
ln|v| - ln|1 + v^2| = ln|x| + C

Passo 25

Substituindo $ v = \frac{y}{x} $:
v = yx

Passo 26

Simplificando:
ln|yx| - ln|x^2 + y^2x^2| = ln|x| + C
ln|yx| - ln|x^2 + y^2| + ln|x^2| = ln|x| + C
ln|y| - ln|x^2 + y^2| = ln|x| + C

Passo 27

Para encontrar a inclinação no ponto $ P(1,1) $, substituímos $ x = 1 $ e $ y = 1 $:
P(1,1)
Isso indica que a derivada é infinita, ou seja, a reta tangente é vertical naquele ponto.

Passo 28

Vamos para o quinto exercício:
y' = x^2 + y^2x y
Vamos resolver essa equação diferencial.

Passo 29

A equação dada é:
dydx = x^2 + y^2x y
Podemos reescrever essa equação separando os termos:
dydx = x^2x y + y^2x y = xy + yx

Passo 30

Vamos multiplicar ambos os lados por $ y $ para facilitar a resolução:
y

Passo 31

Reorganizando:
y dydx - y^2x = x

Passo 32

Observamos que a equação não é exata e tentar uma substituição. Vamos usar $ v = y^{2} $, então $ \frac{dv}{dx} = 2 y \frac{dy}{dx} $.

Passo 33

Substituindo na equação:
12 dvdx - vx = x
dvdx - 2 vx = 2 x

Passo 34

Essa é uma equação diferencial linear. A forma é:
dvdx + P(x) v = Q(x)
onde $ P(x) = -\frac{2}{x} $ e $ Q(x) = 2x $.

Passo 35

Calculamos o fator integrante:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -2x dx = e^-2 ln|x| = x^-2

Passo 36

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
x^-2 dvdx - 2x^3 v = 2 x^-1
Isso simplifica para:
ddx(x^-2 v) = 2 x^-1

Passo 37

Integrando ambos os lados:
x^-2 v = 2 ln|x| + C
v = 2 x^2 ln|x| + C x^2

Passo 38

Voltando a $ v = y^{2} $:
v = y^2
y^2 = 2 x^2 ln|x| + C x^2

Passo 39

Por fim, o sexto exercício:
y' = x^4 + 3 x^2 y^2 + y^4x^3 y, x > 0
no ponto $ P(1,2) $.
Vamos resolver essa equação diferencial e avaliar no ponto dado.

Passo 40

A equação dada é:
dydx = x^4 + 3 x^2 y^2 + y^4x^3 y
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
dydx = x^4x^3 y + 3 x^2 y^2x^3 y + y^4x^3 y = xy + 3 yx + y^3x^3

Passo 41

Tentamos uma substituição para simplificar. Vamos considerar $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $.
Derivando em relação a $ x $:
v = yx

Passo 42

Substituindo na equação original:
v + x dvdx = xv x + 3 v xx + v^3 x^3x^3 = 1v + 3 v + v^3

Passo 43

Reorganizando a equação:
x dvdx = 1v + 3 v + v^3 - v = 1v + 2 v + v^3

Passo 44

Multiplicando ambos os lados por $ v $:
v

Passo 45

Separando as variáveis:
v1 + 2 v^2 + v^4 dv = 1x dx
Observe que o denominador pode ser fatorado:
1 + 2 v^2 + v^4 = (v^2 + 1)^2
Então, a equação fica:
v(v^2 + 1)^2 dv = 1x dx

Passo 46

Vamos integrar ambos os lados. Para o lado esquerdo, usamos substituição:
Deixe $ u = v^{2} + 1 $, então $ du = 2 v dv $ ou $ \frac{du}{2} = v dv $.
Portanto:
u = v^2 + 1
Integrando o lado direito:
du = 2 v dv

Passo 47

Igualando as integrais:
-12 (v^2 + 1) = ln|x| + C
Multiplicando por -2:
1v^2 + 1 = -2 ln|x| + K
onde $ K = -2 C $.

Passo 48

Substituindo $ v = \frac{y}{x} $:
v = yx
1(yx)^2 + 1 = -2 ln|x| + K

Passo 49

Para encontrar a constante $ K $, usamos o ponto $ P(1,2) $:
K
P(1,2)
1^22^2 + 1^2 = 15 = -2 ln(1) + K

Passo 50

A equação geral é:
x^2y^2 + x^2 = -2 ln|x| + 15

Resposta

A solução da equação diferencial que passa pelo ponto $ P(1,2) $ é:
P(1,2)

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