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, no ponto
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, no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver cada uma dessas equações diferenciais que você me enviou. A matéria aqui envolve derivadas e resolução de equações diferenciais. Vamos precisar usar fórmulas básicas de derivação e métodos de separação de variáveis ou substituição para resolver cada caso.
Exercício 1
Passo 2
A equação dada é:
Primeiro, vamos reescrever essa equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser escrita na forma:
onde $ P(x) = -\frac{1}{x} $ e $ Q(x) = 1 $.
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante $ \mu(x) $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por $ x $:
Passo 7
Agora, vamos para o segundo exercício. A equação é:
Vamos resolver essa equação diferencial, que envolve derivadas implícitas.
Passo 8
Primeiro, reescrevemos a equação para facilitar a manipulação:
Essa é uma equação diferencial não linear, e para resolver, podemos tentar uma substituição. Vamos considerar $ v = \frac{x}{y} $, ou seja, $ x = v y $.
Passo 9
Derivando $ x = v y $ em relação a $ y $:
Passo 10
Substituindo na equação original:
Passo 11
Reorganizando a equação:
Passo 12
Separando as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 13
Integrando ambos os lados:
Passo 14
Substituindo $ v = \frac{x}{y} $:
Passo 15
Exponenciando ambos os lados:
onde $ K = e^{C} $, constante arbitrária.
Passo 16
Resolvendo para $ x $:
Como $ K $ é constante, $ x $ é constante, o que indica que a solução é uma reta vertical.
Passo 17
Vamos para o terceiro exercício, que na verdade é igual ao segundo:
Como já resolvemos esse caso no exercício anterior, a solução permanece a mesma.
Passo 18
Agora, o quarto exercício:
no ponto $ P(1,1) $.
Vamos resolver essa equação diferencial e encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Passo 19
A equação dada é:
Essa é uma equação diferencial homogênea, pois os termos no numerador e denominador são de mesma ordem.
Passo 20
Vamos fazer a substituição $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $.
Derivando em relação a $ x $:
Passo 21
Substituindo na equação original:
Passo 22
Reorganizando a equação:
Passo 23
Separando as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 24
Integrando ambos os lados:
Passo 25
Substituindo $ v = \frac{y}{x} $:
Passo 26
Simplificando:
Passo 27
Para encontrar a inclinação no ponto $ P(1,1) $, substituímos $ x = 1 $ e $ y = 1 $:
Isso indica que a derivada é infinita, ou seja, a reta tangente é vertical naquele ponto.
Passo 28
Vamos para o quinto exercício:
Vamos resolver essa equação diferencial.
Passo 29
A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação separando os termos:
Passo 30
Vamos multiplicar ambos os lados por $ y $ para facilitar a resolução:
Passo 31
Reorganizando:
Passo 32
Observamos que a equação não é exata e tentar uma substituição. Vamos usar $ v = y^{2} $, então $ \frac{dv}{dx} = 2 y \frac{dy}{dx} $.
Passo 33
Substituindo na equação:
Passo 34
Essa é uma equação diferencial linear. A forma é:
onde $ P(x) = -\frac{2}{x} $ e $ Q(x) = 2x $.
Passo 35
Calculamos o fator integrante:
Passo 36
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 37
Integrando ambos os lados:
Passo 38
Voltando a $ v = y^{2} $:
Passo 39
Por fim, o sexto exercício:
no ponto $ P(1,2) $.
Vamos resolver essa equação diferencial e avaliar no ponto dado.
Passo 40
A equação dada é:
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Passo 41
Tentamos uma substituição para simplificar. Vamos considerar $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $.
Derivando em relação a $ x $:
Passo 42
Substituindo na equação original:
Passo 43
Reorganizando a equação:
Passo 44
Multiplicando ambos os lados por $ v $:
Passo 45
Separando as variáveis:
Observe que o denominador pode ser fatorado:
Então, a equação fica:
Passo 46
Vamos integrar ambos os lados. Para o lado esquerdo, usamos substituição:
Deixe $ u = v^{2} + 1 $, então $ du = 2 v dv $ ou $ \frac{du}{2} = v dv $.
Deixe $ u = v^{2} + 1 $, então $ du = 2 v dv $ ou $ \frac{du}{2} = v dv $.
Portanto:
Integrando o lado direito:
Passo 47
Igualando as integrais:
Multiplicando por -2:
onde $ K = -2 C $.
Passo 48
Substituindo $ v = \frac{y}{x} $:
Passo 49
Para encontrar a constante $ K $, usamos o ponto $ P(1,2) $:
Passo 50
A equação geral é:
Resposta
A solução da equação diferencial que passa pelo ponto $ P(1,2) $ é: