Mostre que cada uma das seguintes séries converge e determine sua soma.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá: a gente quer mostrar que a série
converge e descobrir quanto ela vale. O conteúdo principal é séries telescópicas e vamos usar decomposição em frações parciais para fazer a mágica.
converge e descobrir quanto ela vale. O conteúdo principal é séries telescópicas e vamos usar decomposição em frações parciais para fazer a mágica.
Passo 2
Primeiro, percebemos que
pode ser escrito como soma de duas frações simples. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando por
dá
Comparando coeficientes (ou plugando
e
), achamos
e
. Logo,
Passo 3
Agora montamos a soma parcial até
:
Reescrevendo índices, o primeiro somatório é de
de 5 a
e o segundo é de
de 7 a
. Ficamos com
Daí dá pra ver que os termos
se cancelam.
Passo 4
O que sobra é
Quando
, os pedaços
e
viram zero. Então
Logo a série converge por telescopia.
Passo 5
Pronto! A série converge e a soma é
.
Resposta
A série converge e seu valor é
.