Mostre que cada uma das seguintes séries converge e determine sua soma.
(b) sumn=6^infty 6n^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá: a gente quer mostrar que a série
sumn=6^infty 6n^2-1
converge e descobrir quanto ela vale. O conteúdo principal é séries telescópicas e vamos usar decomposição em frações parciais para fazer a mágica.

Passo 2

Primeiro, percebemos que
6n^2-1 = 6(n-1)(n+1)
pode ser escrito como soma de duas frações simples. Procuramos constantes A e B tais que
6(n-1)(n+1) = An-1 + Bn+1
Multiplicando por (n-1)(n+1)
6 = A(n+1) + B(n-1)
Comparando coeficientes (ou plugando n=1 e n=-1), achamos A=3 e B=-3. Logo,
6n^2-1 = 3n-1 - 3n+1

Passo 3

Agora montamos a soma parcial até N:
SN = sumn=6^N l(3n-1 - 3n+1r)
Reescrevendo índices, o primeiro somatório é de k=n-1 de 5 a N-1 e o segundo é de m=n+1 de 7 a N+1. Ficamos com
SN = 3sumk=5^N-11k ;- ;3summ=7^N+11m
Daí dá pra ver que os termos tfrac17,tfrac18,dots,tfrac1N-1 se cancelam.

Passo 4

O que sobra é
SN = 3l(tfrac15 + tfrac16 - tfrac1N - tfrac1N+1r)
Quando Ntoinfty, os pedaços tfrac1N e tfrac1N+1 viram zero. Então
limNtoinftySN = 3l(tfrac15 + tfrac16r) = 3cdot1130 = 1110
Logo a série converge por telescopia.

Passo 5

Pronto! A série converge e a soma é 11/10.

Resposta

A série converge e seu valor é 1110.

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