Seja
uma coleção de números reais não negativos tal que
converge. Determine quais das seguintes séries necessariamente convergem (com prova), e quais podem tanto convergir quanto divergir dependendo da escolha de
(com exemplos).
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Passo 1
Vamos recapitular o que a parte © pede e quais ferramentas vamos usar: o enunciado nos dá uma sequência ${a_n}$ de reais não negativos tal que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge. Precisamos estudar a convergência da série
. Vou usar a Desigualdade de Cauchy–Schwarz para mostrar que essa série sempre converge.
Passo 2
A Desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries diz que, dadas duas sequências $x_n$ e $y_n$ de números reais, temos
Aqui, definimos $x_n = \sqrt{a_n}$ e $y_n = 1/n$.
Passo 3
Observamos que
e que
é uma série p com \p=2>1, logo também converge.
Passo 4
Aplicando Cauchy–Schwarz com as escolhas acima, concluímos:
Portanto, a série
converge em todas as situações.
Passo 5
Não há exemplo que faça a série divergir: independentemente de como $(a_n)$ é escolhido (desde que $\sum a_n$ convirja), a desigualdade acima garante convergência.
Resposta
A série
converge necessariamente pelo uso da desigualdade de Cauchy–Schwarz.