Seja an: n in N uma coleção de números reais não negativos tal que sumn=1^infty an converge. Determine quais das seguintes séries necessariamente convergem (com prova), e quais podem tanto convergir quanto divergir dependendo da escolha de an (com exemplos).
© sumn=1^infty raizann

Passo 1

Vamos recapitular o que a parte © pede e quais ferramentas vamos usar: o enunciado nos dá uma sequência ${a_n}$ de reais não negativos tal que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge. Precisamos estudar a convergência da série an. Vou usar a Desigualdade de Cauchy–Schwarz para mostrar que essa série sempre converge.

Passo 2

A Desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries diz que, dadas duas sequências $x_n$ e $y_n$ de números reais, temos
xn
Aqui, definimos $x_n = \sqrt{a_n}$ e $y_n = 1/n$.

Passo 3

Observamos que
sumn=1^infty xn^2 = sumn=1^infty an < +infty
e que
sumn=1^infty yn^2 = sumn=1^infty 1n^2
é uma série p com \p=2>1, logo também converge.

Passo 4

Aplicando Cauchy–Schwarz com as escolhas acima, concluímos:
sumn=1^infty raizann = sumn=1^infty xn,yn <= raizsumn=1^infty an;raizsumn=1^infty 1n^2 < +infty
Portanto, a série converge em todas as situações.

Passo 5

Não há exemplo que faça a série divergir: independentemente de como $(a_n)$ é escolhido (desde que $\sum a_n$ convirja), a desigualdade acima garante convergência.

Resposta

A série converge necessariamente pelo uso da desigualdade de Cauchy–Schwarz.

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