Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite de
na origem não existe, onde a função é
Informações relevantes dadas:
- Queremos investigar o comportamento de
quando . - A função não está definida em
porque o denominador se anula em e : . - A estratégia pedida é calcular limites ao longo de curvas (ou caminhos) que se aproximam da origem e comparar resultados.
Passo 2
Breve explicação do conceito usado (muito importante para a prova):
- Dizemos que
se, ao aproximarmos da origem por qualquer caminho (reta, parábola, sequência, etc.), os valores de se aproximarem sempre do mesmo número . - Portanto, um método simples para provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos diferentes encaminhando-se para
tal que os limites ao longo desses caminhos sejam distintos. Se existirem dois caminhos com limites diferentes, então não há número comum a todos os caminhos, logo o limite não existe. - Observação útil: quando substituímos uma relação
e obtemos uma expressão em função de cujo limite depende do parâmetro da curva, isso indica dependência do caminho.
Passo 3
Calcule o limite ao longo do eixo
(ou seja,
):
Substituindo em
obtemos, para
,
Substituindo
Como para qualquer
nessa curva
, segue que
Então um caminho dá limite igual a
.
Passo 4
Calcule o limite ao longo da família de parábolas
, onde
é um parâmetro (ele determina qual parábola estamos usando).
Para temos
. Substituindo em
(para
):
Para
Fatorando
no numerador e no denominador:
Importante: esse resultado não depende de
(para
); é uma constante que depende apenas do parâmetro
. Logo, ao fazermos
ao longo da parábola
, o limite é exatamente
Passo 5
Use resultados concretos para mostrar contradição (dois limites distintos):
- Para
(que corresponde à parábola , ou seja, o próprio eixo ) obtemos
o que confirma o resultado do Passo 3.
- Para
(a parábola ) obtemos
Portanto, ao aproximar a origem pela reta
o limite é
, enquanto que ao aproximar pela parábola
o limite é
. São limites diferentes.
Passo 6
Conclusão lógica e reforço didático:
- Como encontramos dois caminhos que levam a limites distintos (1 e 0), não existe um único número
que seja o limite de quando por todos os caminhos. - Assim, pelo critério de dependência do caminho, o limite de
na origem não existe. - Observação adicional (intuição): variando
conseguimos todos os valores , que percorrem o intervalo aberto quando varia em , mostrando ainda mais a forte dependência do caminho. Isso explica por que não há chance de um limite único existir.
Resposta
O limite não existe.