Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
f(x, y)=\frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite de f na origem não existe, onde a função é
f(x,y)=\frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • Queremos investigar o comportamento de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0).
  • A função não está definida em (0,0) porque o denominador se anula em x=0 e y=0: 0^{4}+0^{2}=0.
  • A estratégia pedida é calcular limites ao longo de curvas (ou caminhos) que se aproximam da origem e comparar resultados.

Passo 2

Breve explicação do conceito usado (muito importante para a prova):
  • Dizemos que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L se, ao aproximarmos (x,y) da origem por qualquer caminho (reta, parábola, sequência, etc.), os valores de f(x,y) se aproximarem sempre do mesmo número L.
  • Portanto, um método simples para provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos diferentes encaminhando-se para (0,0) tal que os limites ao longo desses caminhos sejam distintos. Se existirem dois caminhos com limites diferentes, então não há número L comum a todos os caminhos, logo o limite não existe.
  • Observação útil: quando substituímos uma relação y=\varphi(x) e obtemos uma expressão em função de x cujo limite x\to0 depende do parâmetro da curva, isso indica dependência do caminho.

Passo 3

Calcule o limite ao longo do eixo x (ou seja, y=0):
Substituindo y=0 em f obtemos, para x\neq0,
f(x,0)=\frac{x^{4}-0^{2}}{x^{4}+0^{2}}=\frac{x^{4}}{x^{4}}=1.
Como para qualquer x\neq0 nessa curva f(x,0)=1, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)\text{ ao longo de }y=0} f(x,y)=1.
Então um caminho dá limite igual a 1.

Passo 4

Calcule o limite ao longo da família de parábolas y=m x^{2}, onde m\in\mathbb{R} é um parâmetro (ele determina qual parábola estamos usando).
Para y=m x^{2} temos y^{2}=m^{2}x^{4}. Substituindo em f (para x\neq0):
f\big(x,m x^{2}\big)=\frac{x^{4}-m^{2}x^{4}}{x^{4}+m^{2}x^{4}}.
Fatorando x^{4} no numerador e no denominador:
f\big(x,m x^{2}\big)=\frac{x^{4}(1-m^{2})}{x^{4}(1+m^{2})}=\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}.
Importante: esse resultado não depende de x (para x\neq0); é uma constante que depende apenas do parâmetro m. Logo, ao fazermos x\to0 ao longo da parábola y=m x^{2}, o limite é exatamente
\lim_{(x,y)\to(0,0)\text{ ao longo de }y=mx^{2}} f(x,y)=\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}.

Passo 5

Use resultados concretos para mostrar contradição (dois limites distintos):
  • Para m=0 (que corresponde à parábola y=0, ou seja, o próprio eixo x) obtemos
\frac{1-0^{2}}{1+0^{2}}=\frac{1}{1}=1,
o que confirma o resultado do Passo 3.
  • Para m=1 (a parábola y=x^{2}) obtemos
\frac{1-1^{2}}{1+1^{2}}=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0.
Portanto, ao aproximar a origem pela reta y=0 o limite é 1, enquanto que ao aproximar pela parábola y=x^{2} o limite é 0. São limites diferentes.

Passo 6

Conclusão lógica e reforço didático:
  • Como encontramos dois caminhos que levam a limites distintos (1 e 0), não existe um único número L que seja o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) por todos os caminhos.
  • Assim, pelo critério de dependência do caminho, o limite de f na origem não existe.
  • Observação adicional (intuição): variando m conseguimos todos os valores \dfrac{1-m^{2}}{1+m^{2}}, que percorrem o intervalo aberto (-1,1) quando m varia em \mathbb{R}, mostrando ainda mais a forte dependência do caminho. Isso explica por que não há chance de um limite único existir.

Resposta

O limite não existe.

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