Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condições iniciais e pede uma solução explícita
:
A tarefa é resolver esse problema de valor inicial e apresentar todos os passos (usando transformada de Laplace, conforme pedido).
Passo 2
Vamos revisar a definição e as fórmulas que usaremos (com explicações): a transformada de Laplace de uma função
é
Chamando
, temos fórmulas padrão para transformadas de derivadas, que vêm de integrar por partes. São elas:
Explico rapidamente a ideia do porquê: ao aplicar
em
fazemos
e integramos por partes, e a fronteira em
introduz
; para
repetimos e surgem os termos com
e
. Essas fórmulas são muito úteis porque transformam derivadas em polinômios em
multiplicando
, reduzindo a EDO a uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace em cada termo da equação dada. Usando as fórmulas do passo anterior:
Somando as três transformadas e igualando a zero (transformada do lado direito
é
), obtemos:
Passo 4
Agrupando os termos que contêm
e isolando as condições iniciais, temos
Assim,
Agora substituímos as condições iniciais fornecidas:
e
. Calculando o numerador:
Logo
Passo 5
Para inverter a transformada é conveniente completar o quadrado no denominador. Observe:
Então
É prático reescrever o numerador em função de
. Note que
Portanto
Passo 6
Agora reconhecemos transformadas padrão. As transformadas conhecidas são:
Compare com nossos termos: no nosso caso
e
, porque o denominador é
.
- O termo
corresponde a , porque . - O termo
corresponde a , pois o numerador deve ser .
Levando em conta o fator
no segundo termo, temos
Passo 7
Aplicando a transformada inversa termo a termo, obtemos a solução no domínio do tempo:
Podemos fatorar
para ficar mais elegante:
Passo 8
Sempre é bom checar as condições iniciais para ganhar confiança. Calculamos
e
.
Primeiro,
que coincide com a condição
.
Agora derivamos
. Usando produto e derivadas de seno e cosseno:
Agrupando termos:
Logo
que coincide com
. Tudo conferiu.