Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-3

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condições iniciais e pede uma solução explícita y(t):
y'' + 2y' + 2y = 0,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=-3.
A tarefa é resolver esse problema de valor inicial e apresentar todos os passos (usando transformada de Laplace, conforme pedido).

Passo 2

Vamos revisar a definição e as fórmulas que usaremos (com explicações): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Chamando \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s), temos fórmulas padrão para transformadas de derivadas, que vêm de integrar por partes. São elas:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Explico rapidamente a ideia do porquê: ao aplicar \mathcal{L} em y' fazemos \int_{0}^{\infty} e^{-st} y'(t)\,dt e integramos por partes, e a fronteira em t=0 introduz y(0); para y'' repetimos e surgem os termos com y(0) e y'(0). Essas fórmulas são muito úteis porque transformam derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s), reduzindo a EDO a uma equação algébrica em Y(s).

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace em cada termo da equação dada. Usando as fórmulas do passo anterior:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{2y'\}=2\big(sY(s)-y(0)\big),
\mathcal{L}\{2y\}=2Y(s).
Somando as três transformadas e igualando a zero (transformada do lado direito 0 é 0), obtemos:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+2\big(sY(s)-y(0)\big)+2Y(s)=0.

Passo 4

Agrupando os termos que contêm Y(s) e isolando as condições iniciais, temos
\big(s^{2}+2s+2\big)Y(s)-s\,y(0)-y'(0)-2y(0)=0.
Assim,
Y(s)=\frac{s\,y(0)+y'(0)+2y(0)}{s^{2}+2s+2}.
Agora substituímos as condições iniciais fornecidas: y(0)=1 e y'(0)=-3. Calculando o numerador:
s\cdot 1 + (-3) + 2\cdot 1 = s -3 +2 = s-1.
Logo
Y(s)=\frac{s-1}{s^{2}+2s+2}.

Passo 5

Para inverter a transformada é conveniente completar o quadrado no denominador. Observe:
s^{2}+2s+2 = (s^{2}+2s+1)+1 = (s+1)^{2}+1.
Então
Y(s)=\frac{s-1}{(s+1)^{2}+1}.
É prático reescrever o numerador em função de (s+1). Note que
s-1 = (s+1)-2.
Portanto
Y(s)=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1}-\frac{2}{(s+1)^{2}+1}.

Passo 6

Agora reconhecemos transformadas padrão. As transformadas conhecidas são:
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}},
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Compare com nossos termos: no nosso caso a=-1 e b=1, porque o denominador é (s+1)^{2}+1 = (s-(-1))^{2}+1^{2}.
  • O termo \dfrac{s+1}{(s+1)^{2}+1} corresponde a \mathcal{L}\{e^{-t}\cos t\}(s), porque s-a = s-(-1)=s+1.
  • O termo \dfrac{1}{(s+1)^{2}+1} corresponde a \mathcal{L}\{e^{-t}\sin t\}(s), pois o numerador deve ser b=1.
Levando em conta o fator 2 no segundo termo, temos
Y(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\cos t\}(s) - 2\mathcal{L}\{e^{-t}\sin t\}(s).

Passo 7

Aplicando a transformada inversa termo a termo, obtemos a solução no domínio do tempo:
y(t)=e^{-t}\cos t - 2e^{-t}\sin t.
Podemos fatorar e^{-t} para ficar mais elegante:
y(t)=e^{-t}\big(\cos t - 2\sin t\big).

Passo 8

Sempre é bom checar as condições iniciais para ganhar confiança. Calculamos y(0) e y'(0).
Primeiro,
y(0)=e^{0}\big(\cos 0 - 2\sin 0\big)=1\cdot(1-0)=1,
que coincide com a condição y(0)=1.
Agora derivamos y(t). Usando produto e derivadas de seno e cosseno:
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{-t}(\cos t -2\sin t)\big) =-e^{-t}(\cos t -2\sin t)+e^{-t}(-\sin t -2\cos t).
Agrupando termos:
y'(t)=e^{-t}\big(-\cos t +2\sin t -\sin t -2\cos t\big) =e^{-t}\big(\sin t -3\cos t\big).
Logo
y'(0)=e^{0}\big(\sin 0 -3\cos 0\big)=0-3=-3,
que coincide com y'(0)=-3. Tudo conferiu.

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(\cos t - 2\sin t\big)

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