Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}-\frac{1}{4} y=0, \quad y(0)=4, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''-\frac{1}{4}y=0,\qquad y(0)=4,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas:
\text{EQUAÇÃO: } y''-\frac{1}{4}y=0.ÇÃ
\text{CONDICIONANTES: } y(0)=4,\quad y'(0)=0.
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais, usando a transformada de Laplace e mostrando todos os detalhes.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace. Primeiro, defino a transformada de Laplace de y(t):
\mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}y(t)\,dt,
onde s é a variável complexa (frequência complexa). Propriedades úteis (fórmulas padrão) para derivadas são:
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada; elas dizem que derivadas no tempo viram polinômios em s multiplicando Y(s) e aparecem termos com as condições iniciais — por isso a transformada é ótima para problemas de valor inicial.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace à equação diferencial inteira:
\mathcal{L}\{y''\}-\frac{1}{4}\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituo as fórmulas das derivadas e uso y(0)=4, y'(0)=0:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)-\frac{1}{4}Y(s)=0.
Agora plugando os valores iniciais:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 4-0\big)-\frac{1}{4}Y(s)=0.
Agrupando os termos em Y(s):
\Big(s^{2}-\frac{1}{4}\Big)Y(s)-4s=0.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{4s}{s^{2}-\tfrac{1}{4}}.
Podemos fatorar o denominador para ver a forma:
s^{2}-\tfrac{1}{4}=(s-\tfrac{1}{2})(s+\tfrac{1}{2}).

Passo 4

Precisamos inverter Y(s) para obter y(t). Há duas vias simples: usar transformada conhecida de \operatorname{cosh} ou fazer frações parciais. Primeiro a via direta usando uma transformada padrão.
Lembrando que, para a>0,
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\frac{s}{s^{2}-a^{2}},
porque \operatorname{cosh}(at)=\tfrac{1}{2}(e^{at}+e^{-at}) e \mathcal{L}\{e^{\pm at}\}=\tfrac{1}{s\mp a}; ao combinar obtém-se a fórmula acima. Aqui, comparando com Y(s), vemos que a=\tfrac{1}{2} e há um fator 4 multiplicando:
Y(s)=4\cdot\frac{s}{s^{2}-(\tfrac{1}{2})^{2}}.
Portanto, pela transformada inversa,
y(t)=4\operatorname{cosh}\!\big(\tfrac{1}{2}t\big).

Passo 5

Para ficar bem claro e didático, mostro também a via por frações parciais (cheia de contas passo a passo) que leva à mesma função. Escrevemos
\frac{s}{s^{2}-a^{2}}=\frac{A}{s-a}+\frac{B}{s+a},
com a=\tfrac{1}{2}. Multiplicando ambos os lados por (s-a)(s+a) obtemos
s=A(s+a)+B(s-a)=(A+B)s+(Aa-Ba).
Comparando coeficientes: do termo em s vem A+B=1; do termo constante vem a(A-B)=0, logo A=B. Com A+B=1 e A=B segue A=B=\tfrac{1}{2}. Assim
\frac{s}{s^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\Big).
Aplicando a inversa de Laplace (sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}) obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\Big\{\frac{s}{s^{2}-a^{2}}\Big\}=\tfrac{1}{2}\big(e^{at}+e^{-at}\big)=\operatorname{cosh}(at).
Voltando ao nosso Y(s)=4\cdot\frac{s}{s^{2}-(\tfrac{1}{2})^{2}}, multiplicando por 4 e invertendo dá
y(t)=4\operatorname{cosh}\!\big(\tfrac{1}{2}t\big),
confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Checagem rápida das condições iniciais (para dar confiança): \operatorname{cosh}(0)=1 então
y(0)=4\operatorname{cosh}(0)=4,
e a derivada é
y'(t)=4\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sinh}\!\big(\tfrac{1}{2}t\big)=2\operatorname{sinh}\!\big(\tfrac{1}{2}t\big),
logo y'(0)=2\operatorname{sinh}(0)=0. Ambas as condições iniciais são satisfeitas. Beleza — resultado consistente.

Resposta

y(t)=4\operatorname{cosh}\!\big(\tfrac{t}{2}\big)

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