Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Informações dadas:
A tarefa é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais, usando a transformada de Laplace e mostrando todos os detalhes.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace. Primeiro, defino a transformada de Laplace de
:
onde
é a variável complexa (frequência complexa). Propriedades úteis (fórmulas padrão) para derivadas são:
Essas fórmulas vêm da integração por partes aplicada à definição da transformada; elas dizem que derivadas no tempo viram polinômios em
multiplicando
e aparecem termos com as condições iniciais — por isso a transformada é ótima para problemas de valor inicial.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace à equação diferencial inteira:
Substituo as fórmulas das derivadas e uso
,
:
Agora plugando os valores iniciais:
Agrupando os termos em
:
Isolando
:
Podemos fatorar o denominador para ver a forma:
Passo 4
Precisamos inverter
para obter
. Há duas vias simples: usar transformada conhecida de
ou fazer frações parciais. Primeiro a via direta usando uma transformada padrão.
Lembrando que, para
,
porque
e
; ao combinar obtém-se a fórmula acima. Aqui, comparando com
, vemos que
e há um fator
multiplicando:
Portanto, pela transformada inversa,
Passo 5
Para ficar bem claro e didático, mostro também a via por frações parciais (cheia de contas passo a passo) que leva à mesma função. Escrevemos
com
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes: do termo em
vem
; do termo constante vem
, logo
. Com
e
segue
. Assim
Aplicando a inversa de Laplace (sabendo que
) obtemos
Voltando ao nosso
, multiplicando por
e invertendo dá
confirmando o resultado anterior.
Passo 6
Checagem rápida das condições iniciais (para dar confiança):
então
e a derivada é
logo
. Ambas as condições iniciais são satisfeitas. Beleza — resultado consistente.