Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem: f(x, y)=\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se existe o limite na origem da função
f(x,y)=\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
\text{função } f(x,y)=\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}},\qquad \text{ponto a analisar: }(x,y)\to(0,0).
Pergunta: existe \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)? Se sim, qual é o valor?
Passo 2
Vou explicar a estratégia: como o denominador aparece em forma x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas polares porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e isso costuma simplificar expressões radiais. Essa escolha evita ter que testar infinitas retas ou curvas e permite usar um argumento direto com uma desigualdade (teorema do confronto / squeeze).
Passo 3
Lembrete rápido sobre coordenadas polares (para você poder reproduzir na prova): definimos
Isto concorda com o resultado polar. Observação pedagógica: se a expressão em polar fosse algo do tipo g(\theta) independente de r (por exemplo \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\cos 2\theta), o limite não existiria porque dependeria do \theta. Aqui aparece o fator r multiplicando uma função angular limitada, então o produto vai a zero sempre.