Para as seguintes funções, decida se existe o limite na origem:
f(x, y)=\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se existe o limite na origem da função
f(x,y)=\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
\text{função } f(x,y)=\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}},\qquad \text{ponto a analisar: }(x,y)\to(0,0).çã
Pergunta: existe \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)? Se sim, qual é o valor?

Passo 2

Vou explicar a estratégia: como o denominador aparece em forma x^{2}+y^{2}, é natural usar coordenadas polares porque x^{2}+y^{2}=r^{2} e isso costuma simplificar expressões radiais. Essa escolha evita ter que testar infinitas retas ou curvas e permite usar um argumento direto com uma desigualdade (teorema do confronto / squeeze).

Passo 3

Lembrete rápido sobre coordenadas polares (para você poder reproduzir na prova): definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad r\ge 0,\\ \theta\in\mathbb{R}.
Ao aproximar (x,y)\to(0,0) corresponde (r,\theta) com r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar livremente).

Passo 4

Substituímos x e y na função e simplificamos passo a passo.
Primeiro fatoramos o numerador:
x^{3}-x y^{2}=x(x^{2}-y^{2}).
Agora substituímos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta:
x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos 2\theta.
Portanto o numerador vira
x(x^{2}-y^{2})=r\cos\theta\cdot r^{2}\cos 2\theta = r^{3}\cos\theta\cos 2\theta.
O denominador é
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Assim, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\frac{r^{3}\cos\theta\cos 2\theta}{r^{2}}=r\cos\theta\cos 2\theta.

Passo 5

Agora usamos uma observação simples sobre as funções trigonométricas: |\cos\theta|\le 1 e |\cos 2\theta|\le 1 para todo \theta. Então
\big|f(x,y)\big|=\big|r\cos\theta\cos 2\theta\big|=r\,|\cos\theta||\cos 2\theta|\le r\cdot 1\cdot 1 = r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), temos r\to 0. Pelo teorema do confronto (squeeze), se |f(x,y)|\le r e r\to 0, então f(x,y)\to 0.

Passo 6

Conclusão direta do passo anterior: o limite existe e é igual a 0. Em termos formais,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 7

Verificação rápida por caminhos (para ganhar confiança na resposta): ao tomar a reta y=mx com m fixo, temos
f(x,mx)=\frac{x^{3}-x(m x)^{2}}{x^{2}+(m x)^{2}}=\frac{x^{3}(1-m^{2})}{x^{2}(1+m^{2})}=x\cdot\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}\xrightarrow[x\to0]{}0.
Isto concorda com o resultado polar. Observação pedagógica: se a expressão em polar fosse algo do tipo g(\theta) independente de r (por exemplo \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\cos 2\theta), o limite não existiria porque dependeria do \theta. Aqui aparece o fator r multiplicando uma função angular limitada, então o produto vai a zero sempre.

Resposta

0

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