Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, calculando limites ao longo de curvas, que o limite de
na origem não existe, onde
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos o limite é a origem
. - Note que a expressão está indefinida quando
(linha ), inclusive em , então não está definida na origem.
Passo 2
O que significa “mostrar que o limite não existe” por caminhos:
- Se o limite de
em existisse e valesse , então ao aproximarmos por qualquer curva (qualquer caminho) dentro do domínio de o valor teria que tender ao mesmo número . - Logo, uma maneira prática de provar que o limite não existe é encontrar duas curvas que chegam à origem pelas quais os limites de
sejam diferentes. Isso basta para concluir que não existe um único que seja o limite por todos os caminhos.
Passo 3
Escolhemos curvas simples: retas que passam pela origem do tipo
, com
constante. Essa escolha é natural porque as contas ficam fáceis e frequentemente já mostram diferenças entre caminhos. Observação: a reta
(isto é,
) está fora do domínio porque
nela; portanto só consideramos
.
Passo 4
Substituímos
em
. Para
e
temos
Agora fatoramos
no numerador e no denominador:
Como
podemos cancelar o fator
, ficando
que é uma constante (não depende de
) para cada
. Portanto, para qualquer
,
Explicação didática: quando a expressão depois da substituição é constante em
, o limite quando
é simplesmente essa constante. O cancelamento de
foi permitido porque estamos avaliando pontos com
(apenas nos aproximando de 0).
Passo 5
Agora escolhemos dois valores diferentes de
para obter limites distintos.
- Para
(reta , eixo ) obtemos
- Para
(reta ) obtemos
Passo 6
Como ao aproximar a origem por duas retas diferentes (
e
) obtemos dois limites diferentes (
e
), não pode existir um único número
tal que
para todas as trajetórias que vão para
. Portanto o limite de
na origem não existe.
Passo 7
Comentário adicional para intuição: existem ainda outros caminhos que dão outros valores. Por exemplo, aproximando pela reta
obtemos o valor
, que varia com
. Próximo à reta
(onde a fórmula com
dá
), curvas como
também conduzem a limites diferentes (no caso
fixo, substituindo e simplificando chega-se a
). Isso reforça que o valor do quociente depende fortemente do caminho de aproximação.
Resposta
O limite não existe.