Mostre, calculando limites ao longo de curvas, que para as seguintes funções não existe o limite na origem:
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, calculando limites ao longo de curvas, que o limite de f na origem não existe, onde
f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}.
  • O ponto onde queremos o limite é a origem (0,0).
  • Note que a expressão está indefinida quando x+y=0 (linha y=-x), inclusive em (0,0), então f não está definida na origem.

Passo 2

O que significa “mostrar que o limite não existe” por caminhos:
  • Se o limite de f(x,y) em (0,0) existisse e valesse L, então ao aproximarmos (x,y)\to(0,0) por qualquer curva (qualquer caminho) dentro do domínio de f o valor f(x,y) teria que tender ao mesmo número L.
  • Logo, uma maneira prática de provar que o limite não existe é encontrar duas curvas que chegam à origem pelas quais os limites de f sejam diferentes. Isso basta para concluir que não existe um único L que seja o limite por todos os caminhos.

Passo 3

Escolhemos curvas simples: retas que passam pela origem do tipo \displaystyle y=kx, com k constante. Essa escolha é natural porque as contas ficam fáceis e frequentemente já mostram diferenças entre caminhos. Observação: a reta y=-x (isto é, k=-1) está fora do domínio porque x+y=0 nela; portanto só consideramos k\neq-1.

Passo 4

Substituímos y=kx em f. Para x\neq0 e k\neq-1 temos
f(x,kx)=\frac{x-kx}{x+kx}.
Agora fatoramos x no numerador e no denominador:
f(x,kx)=\frac{x(1-k)}{x(1+k)}.
Como x\neq0 podemos cancelar o fator x, ficando
f(x,kx)=\frac{1-k}{1+k},
que é uma constante (não depende de x) para cada k\neq-1. Portanto, para qualquer k\neq-1,
\lim_{x\to0} f(x,kx)=\frac{1-k}{1+k}.
Explicação didática: quando a expressão depois da substituição é constante em x, o limite quando x\to0 é simplesmente essa constante. O cancelamento de x foi permitido porque estamos avaliando pontos com x\neq0 (apenas nos aproximando de 0).

Passo 5

Agora escolhemos dois valores diferentes de k para obter limites distintos.
  • Para k=0 (reta y=0, eixo x) obtemos
\lim_{x\to0} f(x,0)=\frac{1-0}{1+0}=1.
  • Para k=2 (reta y=2x) obtemos
\lim_{x\to0} f(x,2x)=\frac{1-2}{1+2}=\frac{-1}{3}=-\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Como ao aproximar a origem por duas retas diferentes ( y=0 e y=2x) obtemos dois limites diferentes ( 1 e -\tfrac{1}{3}), não pode existir um único número L tal que f(x,y)\to L para todas as trajetórias que vão para (0,0). Portanto o limite de f na origem não existe.

Passo 7

Comentário adicional para intuição: existem ainda outros caminhos que dão outros valores. Por exemplo, aproximando pela reta y=kx obtemos o valor \dfrac{1-k}{1+k}, que varia com k. Próximo à reta y=x (onde a fórmula com k=1 0/2=0), curvas como y=x+tx^2 também conduzem a limites diferentes (no caso t fixo, substituindo e simplificando chega-se a 0). Isso reforça que o valor do quociente depende fortemente do caminho de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados