Mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.
(e) e^{x}, x^{-x}, e^{4 x},(-\infty,+\infty)
e pede para mostrar, calculando o wronskiano, que elas são linearmente independentes no intervalo (-\infty,+\infty).
Informação importante e observação sobre domínio: a função x^{-x} é normalmente definida, como função real, por
x^{-x}=e^{-x\ln x},
o que exige \ln x bem definido — isto é, só faz sentido para x>0. Portanto não é possível tratar x^{-x} como uma função real em todo (-\infty,+\infty). Vou, então, interpretar o problema como pedido em (0,\infty) (isto é coerente com a definição real de x^{-x}). A resolução abaixo trabalha no intervalo (0,\infty).
Passo 2
O que é preciso mostrar e a ideia do método.
Definição (intuição): três funções f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente independentes num intervalo se não existe combinação linear com coeficientes constantes a_{1},a_{2},a_{3}, nem todos zero, tal que
a_{1}f_{1}(x)+a_{2}f_{2}(x)+a_{3}f_{3}(x)=0\quad\text{para todo }x\text{ no intervalo.}
Ferramenta usada: o wronskiano. Para três funções suficientemente diferenciáveis, o wronskiano W(x) é o determinante
Teorema prático que usaremos (forma conveniente): se o wronskiano não é identicamente zero no intervalo (isto é, existe algum ponto onde W(x)\neq 0), então as funções são linearmente independentes no intervalo. Portanto basta calcular W(x) e mostrar que ele não é identicamente zero em (0,\infty); um modo simples é avaliar em um ponto concreto (por exemplo x=1) e verificar que W(1)\neq 0.]
Passo 3
Derivadas das funções (explicando cada passo).
Para f_{1}(x)=e^{x}:
f_{1}'(x)=e^{x},\qquad f_{1}''(x)=e^{x}.
Porque a derivada de e^{x} é e^{x} e repetir dá a segunda derivada igual.
Para f_{3}(x)=e^{4x}:
f_{3}'(x)=4e^{4x},\qquad f_{3}''(x)=16e^{4x},
pois derivamos usando a regra da cadeia: (e^{4x})' = 4e^{4x} e outra vez: (4e^{4x})' = 4\cdot4e^{4x}=16e^{4x}.
Para f_{2}(x)=x^{-x} (passo que precisa atenção): escrevemos
f_{2}(x)=e^{g(x)},\qquad g(x)=-x\ln x,
que é uma forma útil porque derivadas de exponenciais seguem uma regra simples. Calculemos g'(x) e g''(x):
g'(x)=-(\ln x + 1),
pois g(x)=-x\ln x e usando produto: (x\ln x)'=\ln x +1, então com o sinal menos vem -(\ln x +1).
Note que cada coluna tem um fator comum: coluna 1 tem e^{x}, coluna 2 tem x^{-x}, coluna 3 tem e^{4x}. Pela propriedade do determinante, podemos fatorar esses fatores:
Cálculo explícito do determinante D(x) (passo a passo).
Para simplificar D(x), subtraímos a primeira linha das outras duas (operações de linha que não mudam o determinante além das operações efetuadas):
segunda linha \leftarrow segunda linha - primeira linha,
terceira linha \leftarrow terceira linha - primeira linha. Isso dá
Expandindo pelo elemento 1 da posição (1,1) (ou observando que o determinante reduz-se ao determinante 2×2 das entradas em colunas 2 e 3 das linhas 2 e 3):
D(x)=\det\begin{pmatrix} -\ln x -2 & 3\\[4pt] (-\ln x -1)^{2}-\tfrac{1}{x}-1 & 15 \end{pmatrix}.
Agora calculamos esse determinante 2×2:
\begin{aligned} D(x)&=(-\ln x -2)\cdot 15 - 3\cdot\Big((-\ln x -1)^{2}-\tfrac{1}{x}-1\Big)\\[4pt] &= -15\ln x -30 -3\big((-\ln x -1)^{2}-\tfrac{1}{x}-1\big). \end{aligned}
Fazendo a álgebra com \ln x (chamemos L=\ln x para clareza):
D(x)=3\Big(-L^{2}-7L-10 +\tfrac{1}{x}\Big)=3\Big(\tfrac{1}{x}-(\ln x)^{2}-7\ln x -10\Big).
Voltando a W(x), obtemos a forma final
\boxed{\,W(x)=3\,e^{5x}x^{-x}\Big(\tfrac{1}{x}-(\ln x)^{2}-7\ln x -10\Big)\,}
válida para x>0.]
Passo 6
Concluir independência linear usando o wronskiano.
Observação sobre fatores: para x>0 temos e^{5x}>0 e x^{-x}>0, portanto os únicos zeros possíveis de W(x) vêm da parte entre parênteses
P(x)=\tfrac{1}{x}-(\ln x)^{2}-7\ln x -10.
Mas para aplicar o critério de independência não precisamos provar que P(x) nunca zera; basta mostrar que W não é a função identicamente zero em (0,\infty). Para isso basta avaliar W em um ponto conveniente, por exemplo x=1 (que está em (0,\infty)).
Como existe pelo menos um ponto em (0,\infty) onde W(x)\neq 0, o wronskiano não é identicamente zero no intervalo (0,\infty). Pelo teorema mencionado, isso implica que as funções e^{x},\,x^{-x},\,e^{4x} são linearmente independentes em (0,\infty).
Comentário final sobre o intervalo original: não se pode afirmar independência em (-\infty,\infty) porque x^{-x} não está definida como função real para x\le 0. A conclusão correta e justificada é a independência em (0,\infty).
Resposta
As funções e^{x},\,x^{-x},\,e^{4x} são linearmente independentes em (0,\infty).