Mostre que f(x) e x f(x) são linearmente independentes em \mathrm{C}([a, b]) se f é contínua e não identicamente nula em [a, b].

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que as funções f(x) e x f(x) são linearmente independentes no espaço \mathrm{C}([a,b]), sob a hipótese de que f é contínua em [a,b] e não é identicamente nula em [a,b].
Informações dadas e o que podemos usar sem provar aqui:
  • f é contínua em [a,b].
  • f não é identicamente nula em [a,b]: isto é, existe pelo menos um ponto x_0\in[a,b] tal que f(x_0)\neq 0.
  • Precisamos mostrar que não existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R}, não ambos nulos, tais que
\alpha f(x)+\beta x f(x)=0\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Ou, equivalentemente, que a única solução para essa igualdade (como função nula) é \alpha=\beta=0.

Passo 2

Escrevendo a condição de dependência linear e fatorando f: suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha f(x)+\beta x f(x)=0\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Fatorando f(x) obtemos
\bigl(\alpha+\beta x\bigr)\,f(x)=0\quad\text{para todo }x\in[a,b].
Isto significa que, para cada x\in[a,b], ou f(x)=0 ou \alpha+\beta x=0. A igualdade vale ponto a ponto.

Passo 3

Usar que f não é identicamente nula e que é contínua: por hipótese existe x_0\in[a,b] com f(x_0)\neq 0. Pela continuidade de f em x_0 existe um pequeno excesso: tome
\varepsilon=\frac{|f(x_0)|}{2}>0.
Pela definição de continuidade, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-x_0|<\delta (e x\in[a,b]), temos |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. Então, para tais x,
|f(x)|\ge |f(x_0)|-|f(x)-f(x_0)| > |f(x_0)|-\varepsilon = \frac{|f(x_0)|}{2}>0.
Logo, existe um intervalo em torno de x_0 contido em [a,b] em que f(x)\neq 0 para todo x desse intervalo. Em particular podemos escolher dois pontos distintos x_1 e x_2 nesse intervalo (por exemplo x_1=x_0 e x_2=x_0+\delta/2, respeitando os extremos de [a,b]); eles satisfazem f(x_1)\neq 0 e f(x_2)\neq 0.

Passo 4

Aplicar a igualdade fatorada nos pontos onde f não se anula: para qualquer x no intervalo em que f(x)\neq 0 temos \alpha+\beta x=0. Em particular, para x_1 e x_2 escolhidos no passo anterior temos
\alpha+\beta x_1=0,\qquad \alpha+\beta x_2=0.
Subtraindo as duas igualdades obtemos
\beta(x_1-x_2)=0.
Como x_1\neq x_2, segue que \beta=0. Voltando a uma das igualdades \alpha+\beta x_1=0 e usando \beta=0 obtemos \alpha=0.

Passo 5

Concluímos que, se \alpha f+\beta x f é a função identicamente zero em [a,b], então necessariamente \alpha=\beta=0. Isso é exatamente a definição de independência linear das funções f e x f em \mathrm{C}([a,b]). Portanto elas são linearmente independentes.

Resposta

As únicas constantes \alpha,\beta tais que \alpha f+\beta x f\equiv 0 em [a,b] são \alpha=0 e \beta=0. Logo f(x) e x f(x) são linearmente independentes em \mathrm{C}([a,b]).

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