Mostre que
e
são linearmente independentes em
se
é contínua e não identicamente nula em
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que as funções
e
são linearmente independentes no espaço
, sob a hipótese de que
é contínua em
e não é identicamente nula em
.
Informações dadas e o que podemos usar sem provar aqui:
-
é contínua em . -
não é identicamente nula em : isto é, existe pelo menos um ponto tal que . - Precisamos mostrar que não existem escalares
, não ambos nulos, tais que
Ou, equivalentemente, que a única solução para essa igualdade (como função nula) é
.
Passo 2
Escrevendo a condição de dependência linear e fatorando
: suponha que existam
tais que
Fatorando
obtemos
Isto significa que, para cada
, ou
ou
. A igualdade vale ponto a ponto.
Passo 3
Usar que
não é identicamente nula e que é contínua: por hipótese existe
com
. Pela continuidade de
em
existe um pequeno excesso: tome
Pela definição de continuidade, existe
tal que, sempre que
(e
), temos
. Então, para tais
,
Logo, existe um intervalo em torno de
contido em
em que
para todo
desse intervalo. Em particular podemos escolher dois pontos distintos
e
nesse intervalo (por exemplo
e
, respeitando os extremos de
); eles satisfazem
e
.
Passo 4
Aplicar a igualdade fatorada nos pontos onde
não se anula: para qualquer
no intervalo em que
temos
. Em particular, para
e
escolhidos no passo anterior temos
Subtraindo as duas igualdades obtemos
Como
, segue que
. Voltando a uma das igualdades
e usando
obtemos
.
Passo 5
Concluímos que, se
é a função identicamente zero em
, então necessariamente
. Isso é exatamente a definição de independência linear das funções
e
em
. Portanto elas são linearmente independentes.
Resposta
As únicas constantes
tais que
em
são
e
. Logo
e
são linearmente independentes em
.