PDE: equação de Laplace em coordenadas cilíndricas sem dependência angular (função independente de \theta).
Contornos: lateral u(2,z)=0 para 0<z<4; base u(r,0)=0; topo u(r,4)=1.
O objetivo é encontrar u(r,z) explícita (série) que satisfaça a equação e todas as condições.
Passo 2
Estratégia prática para transformar o problema com condição superior não-homogênea: separar a parte que já satisfaz as condições em z e é harmônica. Tomamos a função simples
w(z)=\frac{z}{4}.
Verifico se w é solução da equação de Laplace: como w depende só de z,
Como os termos dependem de variáveis distintas, cada termo deve ser igual a uma constante oposta. Tomamos a constante de separação positiva \alpha^{2}>0 (índice n virá depois), e escolhemos a convenção
Justificação rápida da escolha de sinal: queremos modos em z que possam satisfazer Z(0)=0 e Z(4)=0 não-trivialmente; isso ocorre para ondas senoidais, ou seja Z''+\alpha^{2}Z=0.
Passo 4
Resolvo a equação em z. A equação
Z''(z)+\alpha^{2}Z(z)=0
tem solução geral Z(z)=A\cos(\alpha z)+B\sin(\alpha z). Impondo Z(0)=0 dá A=0, então Z(z)=B\sin(\alpha z). Impondo Z(4)=0 requer \sin(\alpha\cdot 4)=0, logo
\alpha_{n}=\frac{n\pi}{4},\qquad n=1,2,3,\dots
e os autovalores são \alpha_{n}^{2}. Os modos em z (normalizados em forma) são
Z_{n}(z)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}z\right).
Passo 5
Agora resolvo a equação radial para cada \alpha_{n}:
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)-\alpha_{n}^{2}R(r)=0.
Essa é a equação de Bessel modificada de ordem zero. Suas soluções gerais são combinações lineares de I_{0}(\alpha_{n}r) e K_{0}(\alpha_{n}r), onde I_{0} e K_{0} são funções de Bessel modificadas de ordem zero. Propriedades importantes:
I_{0}(\rho) é finita e regular em \rho=0.
K_{0}(\rho) é singular em \rho=0 (tende a +\infty).
Como o domínio inclui o eixo r=0 e a solução física deve ser finita lá, rejeitamos K_{0} e tomamos
R_{n}(r)=I_{0}(\alpha_{n} r).
Passo 6
Pelo princípio da superposição, a solução para v é a soma de todos os modos:
Isto significa que devemos representar a função f(z)=-\dfrac{z}{4} no intervalo (0,4) como série de senos \sin(\alpha_{n}z). Ou seja, os coeficientes b_{n} da série de Fourier seno de f(z) são dados por
A integral adicional é \dfrac{1}{\alpha_{n}}\left.\sin(\alpha_{n} z)\right|_{0}^{4}. Como \alpha_{n}4=n\pi, \sin(\alpha_{n}4)=0 e \cos(\alpha_{n}4)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}. Portanto
Essa série satisfaz a PDE (cada modo satisfaz a equação), as condições u(r,0)=0, u(r,4)=1 por construção (porque v é zero nas bases e w dá a parte não-homogênea), e a condição lateral u(2,z)=0 é satisfeita pela escolha dos coeficientes (expansão de -z/4 em senos).