Determine a temperatura em regime permanente u(r, z) no cilindro circular dado pela seguinte EDP
\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0
com as condições de contorno, para 0<r<2 e 0<z<4,
\begin{aligned} & u(2, z)=0 \\\ & u(r, 0)=0 \\\ & u(r, 4)=1 \end{aligned}
Lembrete: Considere \lambda=\alpha^{2}>0 e as seguintes fórmulas:
\begin{array}{r} \frac{d}{d x}\left[x^{n} J_{n}(x)\right]=x^{n} J_{n-1}(x) \\\ J_{n}(\alpha b)=0 ; f(x)=\sum_{i=1}^{\infty} c_{i} J_{n}\left(\alpha_{i} x\right) \\\ c_{i}=\frac{2}{b^{2} J_{n+1}^{2}\left(\alpha_{i} b\right)} \int_{0}^{b} x J_{n}\left(\alpha_{i} x\right) f(x) d x \end{array}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a temperatura em regime permanente u(r,z) no cilindro circular para 0<r<2 e 0<z<4, dada a EDP
\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0
com condições de contorno
u(2,z)=0,\qquad u(r,0)=0,\qquad u(r,4)=1.
Informações relevantes do enunciado:
  1. Domínio: 0<r<2,\;0<z<4.
  2. PDE: equação de Laplace em coordenadas cilíndricas sem dependência angular (função independente de \theta).
  3. Contornos: lateral u(2,z)=0 para 0<z<4; base u(r,0)=0; topo u(r,4)=1.
  4. O objetivo é encontrar u(r,z) explícita (série) que satisfaça a equação e todas as condições.

Passo 2

Estratégia prática para transformar o problema com condição superior não-homogênea: separar a parte que já satisfaz as condições em z e é harmônica. Tomamos a função simples
w(z)=\frac{z}{4}.
Verifico se w é solução da equação de Laplace: como w depende só de z,
\frac{\partial^{2} w}{\partial r^{2}}=0,\qquad \frac{1}{r}\frac{\partial w}{\partial r}=0,\qquad \frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}=0,
logo w satisfaz a PDE (soma zero) — isto é, w é harmônica. Além disso w(0)=0 e w(4)=1, então w já cumpre as condições em z. Agora escrevo
u(r,z)=w(z)+v(r,z)=\frac{z}{4}+v(r,z).
Vou achar v. Pelas condições:
v(r,0)=u(r,0)-w(0)=0-0=0,
v(r,4)=u(r,4)-w(4)=1-1=0,
e na superfície lateral
v(2,z)=u(2,z)-w(z)=0-\frac{z}{4}=-\frac{z}{4}.
Portanto v satisfaz a mesma PDE (pois w é harmônica) e tem condições homogêneas em z e valor conhecido na lateral:
\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial^{2} v}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial r}+\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}}=0,\\[6pt] v(r,0)=0,\quad v(r,4)=0,\quad v(2,z)=-\dfrac{z}{4}. \end{cases}]

Passo 3

Vou resolver v por separação de variáveis. Proponho v(r,z)=R(r)Z(z) (cada modo separável). Substituindo na PDE e dividindo por RZ
\frac{R''(r)+\dfrac{1}{r}R'(r)}{R(r)}+\frac{Z''(z)}{Z(z)}=0.
Como os termos dependem de variáveis distintas, cada termo deve ser igual a uma constante oposta. Tomamos a constante de separação positiva \alpha^{2}>0 (índice n virá depois), e escolhemos a convenção
\frac{R''(r)+\dfrac{1}{r}R'(r)}{R(r)}=\alpha^{2},\qquad \frac{Z''(z)}{Z(z)}=-\alpha^{2}.
Isto leva ao sistema de ODEs
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)-\alpha^{2}R(r)=0,
Z''(z)+\alpha^{2}Z(z)=0.
Justificação rápida da escolha de sinal: queremos modos em z que possam satisfazer Z(0)=0 e Z(4)=0 não-trivialmente; isso ocorre para ondas senoidais, ou seja Z''+\alpha^{2}Z=0.

Passo 4

Resolvo a equação em z. A equação
Z''(z)+\alpha^{2}Z(z)=0
tem solução geral Z(z)=A\cos(\alpha z)+B\sin(\alpha z). Impondo Z(0)=0 A=0, então Z(z)=B\sin(\alpha z). Impondo Z(4)=0 requer \sin(\alpha\cdot 4)=0, logo
\alpha_{n}=\frac{n\pi}{4},\qquad n=1,2,3,\dots
e os autovalores são \alpha_{n}^{2}. Os modos em z (normalizados em forma) são
Z_{n}(z)=\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}z\right).

Passo 5

Agora resolvo a equação radial para cada \alpha_{n}:
R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)-\alpha_{n}^{2}R(r)=0.
Essa é a equação de Bessel modificada de ordem zero. Suas soluções gerais são combinações lineares de I_{0}(\alpha_{n}r) e K_{0}(\alpha_{n}r), onde I_{0} e K_{0} são funções de Bessel modificadas de ordem zero. Propriedades importantes:
  • I_{0}(\rho) é finita e regular em \rho=0.
  • K_{0}(\rho) é singular em \rho=0 (tende a +\infty).
    Como o domínio inclui o eixo r=0 e a solução física deve ser finita lá, rejeitamos K_{0} e tomamos
R_{n}(r)=I_{0}(\alpha_{n} r).

Passo 6

Pelo princípio da superposição, a solução para v é a soma de todos os modos:
v(r,z)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} I_{0}\!\left(\alpha_{n} r\right)\sin\!\left(\alpha_{n} z\right),
com \alpha_{n}=\dfrac{n\pi}{4}. Agora impomos a condição lateral v(2,z)=-\dfrac{z}{4} para 0<z<4:
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} I_{0}\!\left(\alpha_{n}\cdot 2\right)\sin\!\left(\alpha_{n} z\right)=-\frac{z}{4}.
Isto significa que devemos representar a função f(z)=-\dfrac{z}{4} no intervalo (0,4) como série de senos \sin(\alpha_{n}z). Ou seja, os coeficientes b_{n} da série de Fourier seno de f(z) são dados por
b_{n}=\frac{2}{4}\int_{0}^{4} f(z)\sin\!\left(\alpha_{n} z\right)\,dz=\frac{1}{2}\int_{0}^{4}\left(-\frac{z}{4}\right)\sin\!\left(\alpha_{n} z\right)\,dz.
Comparando com a expansão, temos a_{n}I_{0}(2\alpha_{n})=b_{n}, logo a_{n}=b_{n}/I_{0}(2\alpha_{n}).

Passo 7

Calculo explícito de b_{n}. Defino \alpha_{n}=\dfrac{n\pi}{4}. Então
b_{n}=-\frac{1}{8}\int_{0}^{4} z\sin\!\left(\alpha_{n} z\right)\,dz.
Faço integração por partes: tome u=z, dv=\sin(\alpha_{n} z)dz. Então du=dz, v=-\dfrac{\cos(\alpha_{n} z)}{\alpha_{n}}. Assim
\int_{0}^{4} z\sin(\alpha_{n} z)\,dz = \left.-\frac{z\cos(\alpha_{n} z)}{\alpha_{n}}\right|_{0}^{4}+\frac{1}{\alpha_{n}}\int_{0}^{4}\cos(\alpha_{n} z)\,dz.
A integral adicional é \dfrac{1}{\alpha_{n}}\left.\sin(\alpha_{n} z)\right|_{0}^{4}. Como \alpha_{n}4=n\pi, \sin(\alpha_{n}4)=0 e \cos(\alpha_{n}4)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}. Portanto
\int_{0}^{4} z\sin(\alpha_{n} z)\,dz = -\frac{4\cos(\alpha_{n}4)}{\alpha_{n}} = -\frac{4(-1)^{n}}{\alpha_{n}}.
Segue
b_{n}=-\frac{1}{8}\left(-\frac{4(-1)^{n}}{\alpha_{n}}\right)=\frac{(-1)^{n}}{2\alpha_{n}}.

Passo 8

Agora obtenho a_{n}:
a_{n}=\frac{b_{n}}{I_{0}(2\alpha_{n})}=\frac{(-1)^{n}}{2\alpha_{n} I_{0}(2\alpha_{n})}.
Substituindo \alpha_{n}=\dfrac{n\pi}{4} e simplificando 2\alpha_{n}=\dfrac{n\pi}{2}, obtenho
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2\left(\dfrac{n\pi}{4}\right) I_{0}\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}=\frac{2(-1)^{n}}{n\pi\, I_{0}\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}.

Passo 9

Finalmente, escrevo a solução completa u(r,z)=\dfrac{z}{4}+v(r,z) substituindo os coeficientes:
u(r,z)=\frac{z}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n}}{n\pi\, I_{0}\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}\;I_{0}\!\left(\frac{n\pi}{4}r\right)\;\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}z\right).
Essa série satisfaz a PDE (cada modo satisfaz a equação), as condições u(r,0)=0, u(r,4)=1 por construção (porque v é zero nas bases e w dá a parte não-homogênea), e a condição lateral u(2,z)=0 é satisfeita pela escolha dos coeficientes (expansão de -z/4 em senos).

Resposta

u(r,z)=\frac{z}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n}}{n\pi\, I_{0}\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)}\;I_{0}\!\left(\frac{n\pi}{4}r\right)\;\sin\!\left(\frac{n\pi}{4}z\right)

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