(3,0) Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
Formulário
\frac{d y}{d t}+6 y=e^{4 t}, y(0)=2
\mathcal{L}\left(e^{a t}\right)=\frac{1}{s-a}, \quad \mathcal{L}\left(\frac{d y}{d t}\right)=s F(s)-y(0)

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{d y}{d t}+6 y=e^{4 t},\qquad y(0)=2
e fornece fórmulas úteis:
\mathcal{L}\left(e^{a t}\right)=\frac{1}{s-a},\qquad \mathcal{L}\left(\frac{d y}{d t}\right)=sF(s)-y(0).
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(0)=2.

Passo 2

Definição e notação: a transformada de Laplace de y(t) será denotada por Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A transformada é linear: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}. Isso significa que podemos transformar termo a termo.
  • Para a derivada: \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0). Aqui s é a variável do espaço de Laplace e y(0) é a condição inicial; essa fórmula transforma uma derivada em uma expressão algébrica em s.
  • Para exponenciais: \mathcal{L}\{e^{a t}\}=\dfrac{1}{s-a}. Ou seja, funções exponenciais transformam-se em razões simples em s.
Essas propriedades nos permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s), resolver para Y(s) e depois aplicar a transformada inversa para obter y(t).

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada. Usando linearidade:
\mathcal{L}\{y'(t)\}+6\mathcal{L}\{y(t)\}=\mathcal{L}\{e^{4t}\}.
Substituindo as fórmulas dadas:
\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+6Y(s)=\frac{1}{s-4}.
Agora colocamos y(0)=2:
sY(s)-2+6Y(s)=\frac{1}{s-4}.

Passo 4

Agrupamos Y(s) para isolar:
Y(s)(s+6)=\frac{1}{s-4}+2.
Logo
Y(s)=\frac{1}{(s-4)(s+6)}+\frac{2}{s+6}.
Explicação: escrevemos a soma à direita em termos de frações simples para facilitar a transformada inversa. O primeiro termo aparece ao dividir a fração \dfrac{1}{s-4} por (s+6).

Passo 5

Decompondo a primeira fração por frações parciais: queremos escrever
\frac{1}{(s-4)(s+6)}=\frac{A}{s-4}+\frac{B}{s+6}.
Multiplicando ambos os lados por (s-4)(s+6) obtemos
1=A(s+6)+B(s-4).
Para encontrar A e B usamos valores convenientes de s:
  • Tomando s=4: 1=A(10)\Rightarrow A=\dfrac{1}{10}.
  • Tomando s=-6: 1=B(-10)\Rightarrow B=-\dfrac{1}{10}.
Portanto
\frac{1}{(s-4)(s+6)}=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{s-4}-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{s+6}.
Somando com \dfrac{2}{s+6} (o outro termo de Y(s)):
Y(s)=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{s-4}+\left(-\frac{1}{10}+\;2\right)\frac{1}{s+6}.
Calculemos o coeficiente de \dfrac{1}{s+6}: -\dfrac{1}{10}+2=-\dfrac{1}{10}+\dfrac{20}{10}=\dfrac{19}{10}. Assim
Y(s)=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{s-4}+\frac{19}{10}\cdot\frac{1}{s+6}.

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa usando \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{a t}. Invertendo termo a termo:
y(t)=\frac{1}{10}e^{4t}+\frac{19}{10}e^{-6t}.
Checagem rápida da condição inicial: y(0)=\dfrac{1}{10}+\dfrac{19}{10}=\dfrac{20}{10}=2, que coincide com y(0)=2. Podemos também, se quisermos, derivar e substituir na EDO para verificar que y satisfaz a equação original (confirmação opcional).

Resposta

y(t)=\frac{1}{10}e^{4t}+\frac{19}{10}e^{-6t}

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