Utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
Formulário
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e fornece fórmulas úteis:
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
.
Passo 2
Definição e notação: a transformada de Laplace de
será denotada por
.
Propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
Propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
- A transformada é linear:
. Isso significa que podemos transformar termo a termo. - Para a derivada:
. Aqui é a variável do espaço de Laplace e é a condição inicial; essa fórmula transforma uma derivada em uma expressão algébrica em . - Para exponenciais:
. Ou seja, funções exponenciais transformam-se em razões simples em .
Essas propriedades nos permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em
, resolver para
e depois aplicar a transformada inversa para obter
.
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada. Usando linearidade:
Substituindo as fórmulas dadas:
Agora colocamos
:
Passo 4
Agrupamos
para isolar:
Logo
Explicação: escrevemos a soma à direita em termos de frações simples para facilitar a transformada inversa. O primeiro termo aparece ao dividir a fração
por
.
Passo 5
Decompondo a primeira fração por frações parciais: queremos escrever
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para encontrar
e
usamos valores convenientes de
:
- Tomando
: - Tomando
:
Portanto
Somando com
(o outro termo de
):
Calculemos o coeficiente de
:
Assim
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa usando
. Invertendo termo a termo:
Checagem rápida da condição inicial:
, que coincide com
. Podemos também, se quisermos, derivar e substituir na EDO para verificar que
satisfaz a equação original (confirmação opcional).