Demonstre que a capacitância de um capacitor esférico composto por duas cascas esféricas concêntricas de raios r1 e r2, com r2>r1, é dada por:
C=(4^* pi^* varepsilon- 0) /(1 / r1-1 / r2).
Utilize a lei de Gauss para determinar o campo elétrico entre as cascas e a diferença de potencial entre elas.

Passo 1

O enunciado pede a capacitância de um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras concêntricas de raios internos (r1) e externos (r2), com r2>r1. O conteúdo é eletrostática, usando a lei de Gauss para achar o campo elétrico entre as cascas e depois calcular a diferença de potencial entre elas.

Passo 2

Para r1<r<r2, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. Pela lei de Gauss,
ointS Ecdot dA = Qintvarepsilon0
Como E é radial e uniforme em módulo, e dA=r^2sintheta,dtheta,dvarphi, temos
E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = Q4pivarepsilon0,r^2

Passo 3

A diferença de potencial entre a casca interna (potencial V1) e a externa (potencial V2) é
V1-V2 = -integralr2^r1 !E(r),dr = -integralr2^r1 Q4pivarepsilon0,r^2,dr = Q4pivarepsilon0l(1r1 - 1r2r)

Passo 4

A capacitância é definida por C = Q / (V1-V2). Substituindo o resultado do passo anterior,
C = Q Q4pivarepsilon0l(tfrac1r1-tfrac1r2r) = 4pivarepsilon0 1r1 - 1r2,

Resposta

C = 4pivarepsilon0 1r1 - 1r2

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