Determine o jacobiano da transformação de Kruskal-Szekeres
& T=(1-r2 G M)^1 / 2 e^44 G M cosh (t4 G M) & X=(1-r2 G M)^1 / 2 e^44 G M sinh (t4 G M)
na região 0<r<2 G M. Aqui, G M denota a constante gravitacional G multiplicada pela massa M. Tal transformação é utilizada como sistema de coordenadas no horizonte de eventos de um buraco negro.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação de coordenadas de Kruskal– Szekeres na região 0<r<2GM:
T=f(r),coshl(a,tr), X=f(r),sinhl(a,tr),
onde assumimos
f(r)=raiz1-r2GM;e^r4GM, a=14GM
O objetivo é calcular o jacobiano
J=det partial Tpartial r&partial Tpartial t[6pt] partial Xpartial r&partial Xpartial t
]

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f(r). Pela derivada logarítmica,
ln f(r) =tfrac12lnl(1-r2GMr)+r4GM,
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f'(r)f(r) =12cdot-1/(2GM)1-tfracr2GM +14GM =,-r4GM,(2GM-r)
Portanto
f'(r) =-,r4GM,(2GM-r),f(r)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de T e X. Usando
T=f(r)cosh(at), X=f(r)sinh(at),
temos
partial Tpartial r=f'(r)cosh(at), partial Tpartial t=a,f(r)sinh(at),
partial Xpartial r=f'(r)sinh(at), partial Xpartial t=a,f(r)cosh(at)

Passo 4

O determinante do jacobiano é
J =partial Tpartial r,partial Xpartial t -partial Tpartial t,partial Xpartial r =f'(r)cosh(at);l[a,f(r)cosh(at)r] -l[a,f(r)sinh(at)r];f'(r)sinh(at)
Agrupando, como cosh^2(at)-sinh^2(at)=1,
J =a,f(r),f'(r)
Substituindo f'(r) e a=1/(4GM),
J =14GM;f(r);l[-r4GM,(2GM-r),f(r)r] =-r,f(r)^216,G^2M^2,(2GM-r)
Como
f(r)^2=l(1-r2GMr)e^r2GM =2GM-r2GM;e^r2GM,
segue
J =-r16,G^2M^2,(2GM-r);2GM-r2GM;e^r2GM =-r32,G^3M^3;e^r2GM

Resposta

boxed J=detpartial(T,X)partial(r,t) =-r32,G^3M^3,exp!gl(r2GMgr)

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