(a) Mostre que
, onde
.
(b) Dados
campos escalares e, usando o item 6)a), mostre que se o potencial magnético
for dado por
, então o campo magnético
é dado por
.
(b) Dados
Passo 1
O enunciado tem duas partes separadas:
- (a) Dados um campo vetorial
e a notação (logo ), mostrar a identidade
- (b) Dados escalares
e considerando o potencial magnético
usar a identidade do item 6)a) (regra do rotacional do produto escalar por vetor) para mostrar que o campo magnético
é
As informações relevantes que temos explicitamente:
-
é um campo vetorial em ; -
; - em (b)
e são escalares e usamos a regra do rotacional para produto escalar por vetor (item 6)a): ).
Passo 2
Vamos atacar (a). Primeiro explico a notação e os operadores que aparecem, de forma bem direta:
-
é o operador gradiente: para um escalar , é o vetor das derivadas parciais de . -
é o rotacional (curl) de . -
é o operador convectivo: em componentes (usar convenção de Einstein: soma sobre índices repetidos). -
.
Vou provar a identidade trabalhando componente a componente (isso evita truques obscuros e é direto para a prova).
Passo 3
Calculo do gradiente de
em componentes. Para a componente
do vetor
temos:
porque
(somando duas vezes o mesmo termo). Aqui
é índice somado de
a
.
Passo 4
Agora escrevo a componente
do vetor
. Usando notação com o símbolo de Levi-Civita
(e lembrando que
) obtemos
Usamos a identidade de contração de dois
:
onde
é o delta de Kronecker. Aplicando isso,
Passo 5
Desenvolvendo o produto de deltas:
Reconhecendo termos em notação vetorial:
-
é exatamente o termo que apareceu no Passo 3 dividido por vezes; -
.
Portanto em componentes:
Passo 6
Agora retorno à equação do Passo 3:
. Substituo a expressão encontrada no Passo 5 para
:
Multiplicando por
e reescrevendo, obtemos
Isto é, em forma vetorial:
Passo 7
Finalmente isolamos
dividindo por
:
que é exatamente a identidade pedida no item (a). Comentário rápido de entendimento: a identidade relaciona o termo “rotação” de
combinado com
ao comportamento do quadrado do módulo de
e ao transporte convectivo
.
Passo 8
Agora faço (b). Relembro a regra do rotacional para produto escalar por vetor (item 6)a) que foi indicada no enunciado:
válida para qualquer escalar
e campo vetorial
.
Também uso o fato padrão: o rotacional do gradiente é zero,
Passo 9
Calculo
diretamente. Com
temos:
Passo 10
Aplicando a fórmula do Passo 8 a cada termo:
e analogamente
Passo 11
Substituindo estes resultados em
:
Usando a anticomutatividade do produto vetorial
, fica
Isso prova o item (b).