(a) Mostre que \vec{u} \times(\nabla \times \vec{u})=\frac{1}{2} \nabla\left(u^{2}\right)-(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}, onde u=\|\vec{u}\|.
(b) Dados f, g: U \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} campos escalares e, usando o item 6)a), mostre que se o potencial magnético \vec{A} for dado por \vec{A}=\frac{1}{2}(f \nabla g-g \nabla f), então o campo magnético \vec{B}=\nabla \times \vec{A} é dado por \vec{B}=\nabla f \times \nabla g.

Passo 1

O enunciado tem duas partes separadas:
  • (a) Dados um campo vetorial \vec{u}(\vec{x}) e a notação u=\|\vec{u}\| (logo u^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}), mostrar a identidade
\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u})=\frac{1}{2}\nabla\bigl(u^{2}\bigr)-(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}.
  • (b) Dados escalares f,g:U\subset\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} e considerando o potencial magnético
\vec{A}=\tfrac{1}{2}\bigl(f\nabla g-g\nabla f\bigr),
usar a identidade do item 6)a) (regra do rotacional do produto escalar por vetor) para mostrar que o campo magnético \vec{B}=\nabla\times\vec{A} é
\vec{B}=\nabla f\times\nabla g.
As informações relevantes que temos explicitamente:
  • \vec{u} é um campo vetorial em \mathbb{R}^{3};
  • u^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u};
  • em (b) f e g são escalares e usamos a regra do rotacional para produto escalar por vetor (item 6)a): \nabla\times(\varphi\vec{v})=\nabla\varphi\times\vec{v}+\varphi\,\nabla\times\vec{v}).

Passo 2

Vamos atacar (a). Primeiro explico a notação e os operadores que aparecem, de forma bem direta:
  • \nabla é o operador gradiente: para um escalar \varphi, \nabla\varphi é o vetor das derivadas parciais de \varphi.
  • \nabla\times\vec{u} é o rotacional (curl) de \vec{u}.
  • (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} é o operador convectivo: em componentes ((\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u})_k = u_j\partial_j u_k (usar convenção de Einstein: soma sobre índices repetidos).
  • u^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}=u_i u_i.
Vou provar a identidade trabalhando componente a componente (isso evita truques obscuros e é direto para a prova).

Passo 3

Calculo do gradiente de u^{2} em componentes. Para a componente k do vetor \nabla(u^{2}) temos:
\bigl(\nabla(u^{2})\bigr)_k=\partial_k(u_i u_i)=2\,u_i\partial_k u_i,
porque \partial_k(u_i u_i)=u_i\partial_k u_i + u_i\partial_k u_i (somando duas vezes o mesmo termo). Aqui i é índice somado de 1 a 3.

Passo 4

Agora escrevo a componente k do vetor \vec{u}\times(\nabla\times\vec{u}). Usando notação com o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{k m n} (e lembrando que (\nabla\times\vec{u})_n=\varepsilon_{n r s}\partial_r u_s) obtemos
\bigl(\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u})\bigr)_k = \varepsilon_{k m n}\,u_m\,\varepsilon_{n r s}\,\partial_r u_s.
Usamos a identidade de contração de dois \varepsilon:
\varepsilon_{k m n}\varepsilon_{n r s}=\delta_{k r}\delta_{m s}-\delta_{k s}\delta_{m r},
onde \delta_{ab} é o delta de Kronecker. Aplicando isso,
\bigl(\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u})\bigr)_k = (\delta_{k r}\delta_{m s}-\delta_{k s}\delta_{m r})\,u_m\,\partial_r u_s.

Passo 5

Desenvolvendo o produto de deltas:
\bigl(\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u})\bigr)_k = u_s\,\partial_k u_s - u_r\,\partial_r u_k.
Reconhecendo termos em notação vetorial:
  • u_s\partial_k u_s = u_i\partial_k u_i é exatamente o termo que apareceu no Passo 3 dividido por 2 vezes;
  • u_r\partial_r u_k = ((\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u})_k.
Portanto em componentes:
\bigl(\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u})\bigr)_k = u_i\partial_k u_i - ((\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u})_k.

Passo 6

Agora retorno à equação do Passo 3: \bigl(\nabla(u^{2})\bigr)_k=2\,u_i\partial_k u_i. Substituo a expressão encontrada no Passo 5 para u_i\partial_k u_i:
u_i\partial_k u_i = \bigl(\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u})\bigr)_k + ((\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u})_k.
Multiplicando por 2 e reescrevendo, obtemos
\bigl(\nabla(u^{2})\bigr)_k = 2\bigl(\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u})\bigr)_k + 2((\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u})_k.
Isto é, em forma vetorial:
\nabla(u^{2}) = 2\,\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u}) + 2\,(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}.

Passo 7

Finalmente isolamos \vec{u}\times(\nabla\times\vec{u}) dividindo por 2:
\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u})=\tfrac{1}{2}\nabla(u^{2})-(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u},
que é exatamente a identidade pedida no item (a). Comentário rápido de entendimento: a identidade relaciona o termo “rotação” de \vec{u} combinado com \vec{u} ao comportamento do quadrado do módulo de \vec{u} e ao transporte convectivo (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}.

Passo 8

Agora faço (b). Relembro a regra do rotacional para produto escalar por vetor (item 6)a) que foi indicada no enunciado:
\boxed{\nabla\times(\varphi\vec{v})=\nabla\varphi\times\vec{v}+\varphi\,\nabla\times\vec{v}},
válida para qualquer escalar \varphi e campo vetorial \vec{v}.
Também uso o fato padrão: o rotacional do gradiente é zero,
\nabla\times(\nabla g)=\vec{0}.

Passo 9

Calculo \vec{B}=\nabla\times\vec{A} diretamente. Com \vec{A}=\tfrac{1}{2}\bigl(f\nabla g-g\nabla f\bigr) temos:
\vec{B}=\nabla\times\vec{A} =\tfrac{1}{2}\Bigl(\nabla\times(f\nabla g)-\nabla\times(g\nabla f)\Bigr).

Passo 10

Aplicando a fórmula do Passo 8 a cada termo:
\nabla\times(f\nabla g)=\nabla f\times\nabla g + f\,\nabla\times(\nabla g) =\nabla f\times\nabla g + f\cdot\vec{0} =\nabla f\times\nabla g,
e analogamente
\nabla\times(g\nabla f)=\nabla g\times\nabla f.

Passo 11

Substituindo estes resultados em \vec{B}:
\vec{B}=\tfrac{1}{2}\Bigl(\nabla f\times\nabla g - \nabla g\times\nabla f\Bigr).
Usando a anticomutatividade do produto vetorial \nabla g\times\nabla f = -(\nabla f\times\nabla g), fica
\vec{B}=\tfrac{1}{2}\bigl(\nabla f\times\nabla g + \nabla f\times\nabla g\bigr)=\nabla f\times\nabla g.
Isso prova o item (b).

Resposta

\vec{u}\times(\nabla\times\vec{u})=\dfrac{1}{2}\nabla\bigl(u^{2}\bigr)-(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}
\vec{B}=\nabla f\times\nabla g

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