Mostre que o campo magnético produzido no interior de um cilindro sem furo a uma distância
do seu eixo central é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo magnético dentro de um cilindro sólido, sem furo, a uma distância $ r $ do eixo central é dado por:
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético $ B $ ao redor de um caminho fechado com a corrente elétrica que passa por esse caminho. Precisamos conhecer conceitos de magnetismo e de aplicação da Lei de Ampère.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Ampère. Basicamente, ela nos diz que o circuito fechado de integral do campo magnético $ \mathbf{B} $ ao longo de um caminho fechado é igual a $ \mu_{0} $ vezes a corrente total $ I $ que atravessa o caminho:
Aqui, $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho de integração.
Passo 3
No nosso caso, o cilindro tem raio $ R $ e está carregando uma corrente total $ i $. Queremos encontrar o campo magnético a uma distância $ r $ do centro, onde $ r < R $. Vamos considerar um caminho circular de raio $ r $ concêntrico com o cilindro. Por simetria, o campo $ \mathbf{B} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos desse caminho e é tangente a ele.
Passo 4
Vamos calcular o lado esquerdo da Lei de Ampère, que é a integral do campo magnético ao longo do caminho. Como $ B $ é constante ao longo do caminho e tangente a ele, a integral simplifica para:
Aqui, $ 2\pi r $ é o comprimento da circunferência.
Passo 5
Agora, precisamos determinar a corrente encerrada $ I_{enc} $ pelo caminho. Como a corrente está distribuída uniformemente no cilindro, a densidade de corrente $ J $ é:
Isso porque a área da seção transversal do cilindro é $ \pi R^{2} $.
Passo 6
A corrente encerrada pelo nosso caminho de raio $ r $ é a densidade de corrente $ J $ multiplicada pela área do círculo de raio $ r $:
Passo 7
Aplicando a Lei de Ampère, temos:
Agora, resolvemos para $ B $:
Resposta
Portanto, o campo magnético no interior do cilindro a uma distância $ r $ do eixo central é: