Uma partícula se movimenta segundo a função r(t)=2 t^2 imath-8 t^4 jmath (no SI), determine:
a) a equação da trajetória da partícula (dica y=y(x) );
b) as expressões para a velocidade e aceleração da partícula em função para qualquer instante de tempo;
c) os vetores posição, velocidade e aceleração no início do movimento (instante inicial do movimento);
d) a intensidade dos vetores obtidos no item c).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move de acordo com a função vetorial r(t)=2 t^2 imath-8 t^4 jmath. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, onde vamos trabalhar com posição, velocidade e aceleração de partículas em movimento. Para resolver as partes a, b, c e d, vamos precisar usar derivadas para achar velocidade e aceleração, além de manipular as equações para encontrar a trajetória e calcular as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Parte a) Equação da trajetória da partícula ( y = y(x)):
A gente tem a posição da partícula em termos de tempo t. Para achar a trajetória, precisamos relacionar y com x, eliminando o tempo.
Sabemos que:
x(t) = 2t^2 y(t) = -8t^4
Primeiro, vamos isolar t na equação de x(t):
x = 2t^2 Rightarrow t^2 = x2 Rightarrow t = raizx2
Agora, substituímos t^2 na equação de y(t):
y = -8t^4 = -8(t^2)^2 = -8(x2)^2 = -8 cdot x^24 = -2x^2

Passo 3

Passo 4

Parte b) Expressões para a velocidade e aceleração da partícula em função do tempo:
Para encontrar a velocidade, vamos derivar a posição em relação ao tempo. A velocidade vetorial v(t) é a primeira derivada de r(t):
v(t) = dr(t)dt
Derivando cada componente:
ddt(2t^2) = 4t ddt(-8t^4) = -32t^3
Então,
v(t) = 4t imath -32t^3 jmath
Agora, para a aceleração, derivamos a velocidade em relação ao tempo. A aceleração vetorial a(t) é a primeira derivada de v(t):
a(t) = dv(t)dt
Derivando cada componente:
ddt(4t) = 4 ddt(-32t^3) = -96t^2
Então,
a(t) = 4 imath -96t^2 jmath

Passo 5

Parte c) Vetores posição, velocidade e aceleração no início do movimento (tempo inicial):
O início do movimento corresponde a t = 0. Vamos substituir t = 0 nas expressões que já encontramos.
  1. Posição:
r(0) = 2(0)^2 imath -8(0)^4 jmath = 0 imath -0 jmath = 0
  1. Velocidade:
v(0) = 4(0) imath -32(0)^3 jmath = 0 imath -0 jmath = 0
  1. Aceleração:
a(0) = 4 imath -96(0)^2 jmath = 4 imath -0 jmath = 4 imath

Passo 6

Parte d) Intensidade (magnitude) dos vetores obtidos no item c):
Vamos calcular a magnitude de cada vetor. A magnitude de um vetor A = Ax imath + Ay jmath é dada por:
|A| = raizAx^2 + Ay^2
  1. Posição:
|r(0)| = |0| = 0
  1. Velocidade:
|v(0)| = |0| = 0
  1. Aceleração:
|a(0)| = |4 imath| = raiz4^2 + 0^2 = raiz16 = 4 , m/s^2

Resposta

a) A equação da trajetória é y = -2x^2.
b) A velocidade da partícula é v(t) = 4t imath -32t^3 jmath e a aceleração é a(t) = 4 imath -96t^2 jmath.
c) No início do movimento ( t = 0):
  • Vetor posição: r(0) = 0
  • Vetor velocidade: v(0) = 0
  • Vetor aceleração: a(0) = 4 imath
d) As intensidades são:
  • |r(0)| = 0
  • |v(0)| = 0
  • |a(0)| = 4 , m/s^2

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