Uma partícula se movimenta segundo a função
(no SI), determine:
a) a equação da trajetória da partícula (dica
);
b) as expressões para a velocidade e aceleração da partícula em função para qualquer instante de tempo;
c) os vetores posição, velocidade e aceleração no início do movimento (instante inicial do movimento);
d) a intensidade dos vetores obtidos no item c).
a) a equação da trajetória da partícula (dica
b) as expressões para a velocidade e aceleração da partícula em função para qualquer instante de tempo;
c) os vetores posição, velocidade e aceleração no início do movimento (instante inicial do movimento);
d) a intensidade dos vetores obtidos no item c).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move de acordo com a função vetorial
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, onde vamos trabalhar com posição, velocidade e aceleração de partículas em movimento. Para resolver as partes a, b, c e d, vamos precisar usar derivadas para achar velocidade e aceleração, além de manipular as equações para encontrar a trajetória e calcular as magnitudes dos vetores.
Passo 2
Parte a) Equação da trajetória da partícula (
):
A gente tem a posição da partícula em termos de tempo
. Para achar a trajetória, precisamos relacionar
com
, eliminando o tempo.
Sabemos que:
Primeiro, vamos isolar
na equação de
:
Agora, substituímos
na equação de
:
Passo 3
Passo 4
Parte b) Expressões para a velocidade e aceleração da partícula em função do tempo:
Para encontrar a velocidade, vamos derivar a posição em relação ao tempo. A velocidade vetorial
é a primeira derivada de
:
Derivando cada componente:
Então,
Agora, para a aceleração, derivamos a velocidade em relação ao tempo. A aceleração vetorial
é a primeira derivada de
:
Derivando cada componente:
Então,
Passo 5
Parte c) Vetores posição, velocidade e aceleração no início do movimento (tempo inicial):
O início do movimento corresponde a
. Vamos substituir
nas expressões que já encontramos.
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração:
Passo 6
Parte d) Intensidade (magnitude) dos vetores obtidos no item c):
Vamos calcular a magnitude de cada vetor. A magnitude de um vetor
é dada por:
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração:
Resposta
a) A equação da trajetória é
.
b) A velocidade da partícula é
e a aceleração é
.
c) No início do movimento (
):
- Vetor posição:
- Vetor velocidade:
- Vetor aceleração:
d) As intensidades são: