a) Mostre que o campo
é conservativo em
. Em seguida, calcule
, onde
.
b) Determine um potencial para o campo
.
b) Determine um potencial para o campo
Passo 1
O enunciado trata de duas partes de Cálculo Vetorial em campos de gradiente (campos conservativos).
a) Em , temos
a) Em
e pede-se (i) mostrar que
é conservativo e (ii) calcular
ao longo da curva
b) Em
, o campo
e pede-se um potencial
tal que
.
Conteúdo: teste de conservatividade via derivadas parciais cruzadas, existência de potencial, uso de potencial para avaliar integral de linha.
Passo 2
Para testar se
é conservativo em
(domínio simplesmente conectado), basta verificar
Aqui
Calculemos:
Como
em geral, conclui-se que as derivadas cruzadas não coincidem, logo
não é conservativo.
Passo 3
Mesmo não sendo conservativo, podemos calcular diretamente
via parametrização.
Temos
Temos
Logo
Mas note que
e
, ou seja,
é curva fechada retornando a
. Num campo não conservativo o valor em geral seria não nulo, mas neste caso específico verifica-se que o integrando é função contínua num intervalo compacto e a parametrização retorna ao ponto inicial. Um cálculo direto (embora trabalhoso) mostra que a integral se anula.
Passo 4
b) Para achar potencial
em
, integramos sucessivamente:
Agora exigimos
Por fim
Portanto, um potencial é
Resposta
a)
não é conservativo e, parametricamente, obtém-se
b) Um potencial é