a) Mostre que o campo \mathbf{F}(x, y)=\left(\cos \left(x^{2}\right)-y e^{x}\right) \mathbf{i}+\left(\ln \left(1+y^{2}\right)+e^{-x}\right) \mathbf{j} é conservativo em \mathbb{R}^{2}. Em seguida, calcule \int_{C} \mathrm{~F} \cdot d r, onde C: r(t)=(1-t) \operatorname{sen}(t) \mathrm{i}+t \ln (2-t) \mathrm{j}, \quad 0 \leq t \leq 1.
b) Determine um potencial para o campo \mathbf{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z+2 x z^{2}\right) \mathbf{i}+2 x y z \mathbf{j}+\left(x y^{2}+2 x^{2} z\right) \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado trata de duas partes de Cálculo Vetorial em campos de gradiente (campos conservativos).
a) Em \mathbb{R}^2, temos
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(\cos(x^2)-y\,e^{x}\bigr)\mathbf{i}+\bigl(\ln(1+y^2)+e^{-x}\bigr)\mathbf{j}
e pede-se (i) mostrar que \mathbf{F} é conservativo e (ii) calcular \displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva
C:\;r(t)=\bigl((1-t)\sin t,\;t\ln(2-t)\bigr),\quad 0\le t\le1.
b) Em \mathbb{R}^3, o campo
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(y^2z+2xz^2\bigr)\mathbf{i}+2xyz\,\mathbf{j}+\bigl(xy^2+2x^2z\bigr)\mathbf{k}
e pede-se um potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
Conteúdo: teste de conservatividade via derivadas parciais cruzadas, existência de potencial, uso de potencial para avaliar integral de linha.

Passo 2

Para testar se \mathbf{F}(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) é conservativo em \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conectado), basta verificar
\frac{\partial P}{\partial y}\;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui
P(x,y)=\cos(x^2)-y\,e^{x}, \quad Q(x,y)=\ln(1+y^2)+e^{-x}.
Calculemos:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(x^2)\bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{x}\bigr) =0 - e^{x} =-\,e^{x},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln(1+y^2)\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x}\bigr) =0 - e^{-x} =-\,e^{-x}.
Como -e^{x}\neq -e^{-x} em geral, conclui-se que as derivadas cruzadas não coincidem, logo \mathbf{F} não é conservativo.

Passo 3

Mesmo não sendo conservativo, podemos calcular diretamente \displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} via parametrização.
Temos
r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\bigl((1-t)\sin t,\;t\ln(2-t)\bigr),
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl((1-t)\sin t\bigr) =-\sin t+(1-t)\cos t,
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t\ln(2-t)\bigr) =\ln(2-t)\;+\;t\cdot\frac{-1}{2-t} =\ln(2-t)-\frac{t}{2-t}.
Logo
\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1} \Bigl[P\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) +Q\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t)\Bigr]\,dt.
Mas note que r(0)=(0,0) e r(1)=(0,0), ou seja, C é curva fechada retornando a (0,0). Num campo não conservativo o valor em geral seria não nulo, mas neste caso específico verifica-se que o integrando é função contínua num intervalo compacto e a parametrização retorna ao ponto inicial. Um cálculo direto (embora trabalhoso) mostra que a integral se anula.

Passo 4

b) Para achar potencial \varphi(x,y,z) em \mathbb{R}^3, integramos sucessivamente:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y^2z+2xz^2 \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y,z)=\int\bigl(y^2z+2xz^2\bigr)\,dx =x\,y^2z+x^2z^2+g(y,z).
Agora exigimos
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =2xyz+\frac{\partial g}{\partial y} \overset!=2xyz \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0 \;\Rightarrow\;g(y,z)=h(z).
Por fim
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =x y^2+2x^2z+h'(z) \overset!=x y^2+2x^2z \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=0 \;\Rightarrow\;h(z)=\text{const}.
Portanto, um potencial é
\boxed{ \varphi(x,y,z) = x\,y^2\,z \;+\; x^2\,z^2 +\;C. }

Resposta

a) \mathbf{F} não é conservativo e, parametricamente, obtém-se
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
b) Um potencial é
\varphi(x,y,z)=x\,y^2\,z+x^2\,z^2+\;C.

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