Calcule \int_{C} 1-x^{2} y d s, onde C é a metade inferior do círculo x^{2}+y^{2}=1. Faça um esboço e explique o que o valor desta integral representa.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha de primeira espécie
\int_{C} \bigl(1 - x^{2}y\bigr)\,ds
onde C é o semicírculo inferior de raio 1 definido por x^{2}+y^{2}=1 e y\le0.
Conteúdo: integrais de linha de primeira espécie (curva com densidade escalar). Vamos parametrizar C e usar ds=|\mathbf r'(t)|\,dt.

Passo 2

Parametrização de C:
\mathbf r(t) = (\cos t,\;\sin t), \quad t\in[\pi,2\pi].
Calculamos
\mathbf r'(t) = (-\sin t,\;\cos t), \quad |\mathbf r'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t}=1,
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ds = dt.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{C}\bigl(1 - x^{2}y\bigr)\,ds = \int_{\pi}^{2\pi}\bigl(1 - \cos^2 t\sin t\bigr)\,dt.
Separamos em duas parcelas:
\int_{\pi}^{2\pi}1\,dt \;-\;\int_{\pi}^{2\pi}\cos^2 t\sin t\,dt.

Passo 4

Primeira parcela:
\int_{\pi}^{2\pi}1\,dt = (2\pi - \pi) = \pi.
Segunda parcela: use u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Então
\int_{\pi}^{2\pi}\cos^2 t\sin t\,dt = \int_{u=\cos\pi=-1}^{u=\cos(2\pi)=1}u^2(-du) = -\int_{-1}^{1}u^2\,du = -\biggl[\frac{u^3}{3}\biggr]_{-1}^{1} = -\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{-1}{3}\Bigr) = -\frac{2}{3}.

Passo 5

Voltando à integral total:
\int_{C}\bigl(1 - x^{2}y\bigr)\,ds = \pi \;-\;\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr) = \pi + \frac{2}{3}.

Passo 6

Esboço e interpretação:
O caminho C é o semicírculo inferior de raio 1 (de t=\pi a 2\pi). Um esboço simples coloca a circunferência de centro na origem e marca a parte de baixo (onde y\le0).
O valor calculado representa, por exemplo, a massa de um fio no formato desse semicírculo quando a densidade em cada ponto (x,y) é \rho(x,y)=1 - x^{2}y.

Resposta

\displaystyle \pi + \tfrac{2}{3}

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