Calcule
, onde
é a metade inferior do círculo
. Faça um esboço e explique o que o valor desta integral representa.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha de primeira espécie
onde
é o semicírculo inferior de raio 1 definido por
e
.
Conteúdo: integrais de linha de primeira espécie (curva com densidade escalar). Vamos parametrizar e usar
.
Conteúdo: integrais de linha de primeira espécie (curva com densidade escalar). Vamos parametrizar
Passo 2
Parametrização de
:
Calculamos
logo
Passo 3
Substituindo na integral, obtemos
Separamos em duas parcelas:
Passo 4
Primeira parcela:
Segunda parcela: use
,
. Então
Passo 5
Voltando à integral total:
Passo 6
Esboço e interpretação:
O caminho é o semicírculo inferior de raio 1 (de
a
). Um esboço simples coloca a circunferência de centro na origem e marca a parte de baixo (onde
).
O valor calculado representa, por exemplo, a massa de um fio no formato desse semicírculo quando a densidade em cada ponto é
.
O caminho
O valor calculado representa, por exemplo, a massa de um fio no formato desse semicírculo quando a densidade em cada ponto