Ün arame fino tem a forma da parte que está no segundo quadrante da circunferencia de centro na origem e raio 3. Se a função densidade for \rho(x, y)=-\pi^{\cos (\epsilon)} x y, encontre o centro de massa do arame.

Passo 1

O fio está no arco da circunferência x^2+y^2=3^2 no segundo quadrante, ou seja, parametrize por
x=3\cos\theta,\quad y=3\sin\theta, \quad \theta\in\bigl[\tfrac\pi2,\pi\bigr].
A densidade é
\rho(x,y)=-\pi^{\cos\epsilon}\,x\,y,
onde \pi^{\cos\epsilon} é apenas uma constante positiva. Vamos usar as fórmulas
M=\int_C \rho\,ds,\quad \bar x=\frac1M\int_C x\,\rho\,ds,\quad \bar y=\frac1M\int_C y\,\rho\,ds.

Passo 2

No parâmetro \theta temos
x(\theta)=3\cos\theta,\quad y(\theta)=3\sin\theta, \quad ds=3\,d\theta,
e como \pi^{\cos\epsilon} é constante escrevemos
\rho(\theta) =-\pi^{\cos\epsilon}\bigl(3\cos\theta\bigr)\bigl(3\sin\theta\bigr) =-9\pi^{\cos\epsilon}\cos\theta\sin\theta.
Logo
dm=\rho\,ds =-9\pi^{\cos\epsilon}\cos\theta\sin\theta\cdot3\,d\theta =-27\pi^{\cos\epsilon}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.

Passo 3

Calculemos a massa total M:
M =\int_{\pi/2}^{\pi}dm =-27\pi^{\cos\epsilon}\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
Usando u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta,
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\Bigl[\tfrac12\sin^2\theta\Bigr]_{\pi/2}^{\pi} =\frac12\bigl(0-1\bigr)=-\frac12.
Portanto
M =-27\pi^{\cos\epsilon}\Bigl(-\tfrac12\Bigr) =\frac{27}{2}\,\pi^{\cos\epsilon}.

Passo 4

Agora \displaystyle\int_C x\,dm:
\int_{\pi/2}^{\pi}x\,dm =\int_{\pi/2}^{\pi}3\cos\theta\bigl[-27\pi^{\cos\epsilon}\cos\theta\sin\theta\bigr]d\theta =-81\pi^{\cos\epsilon}\int_{\pi/2}^{\pi}\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta.
Com u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta,
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta =\int_{u=0}^{u=-1}u^2(-du) =\int_0^{-1}u^2\,du =\Bigl[-\tfrac{u^3}{3}\Bigr]_0^{-1} =\frac13.
Logo
\int_C x\,dm =-81\pi^{\cos\epsilon}\cdot\frac13 =-27\pi^{\cos\epsilon},
e
\bar x =\frac{1}{M}\int_C x\,dm =\frac{-27\pi^{\cos\epsilon}}{\tfrac{27}{2}\,\pi^{\cos\epsilon}} =-2.

Passo 5

De modo análogo,
\int_C y\,dm =\int_{\pi/2}^{\pi}3\sin\theta\bigl[-27\pi^{\cos\epsilon}\cos\theta\sin\theta\bigr]d\theta =-81\pi^{\cos\epsilon}\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\theta\sin^2\theta\,d\theta.
Tomando u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta,
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\theta\sin^2\theta\,d\theta =\int_{u=1}^{u=0}u^2\,du =-\int_0^1u^2\,du =-\frac13.
Então
\int_C y\,dm =-81\pi^{\cos\epsilon}\Bigl(-\tfrac13\Bigr) =27\pi^{\cos\epsilon},
\bar y =\frac{1}{M}\int_C y\,dm =\frac{27\pi^{\cos\epsilon}}{\tfrac{27}{2}\,\pi^{\cos\epsilon}} =2.

Resposta

O centro de massa do arame é
(\bar x,\bar y)=(-2,2).

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