Usando a mudança de variáveis
e
, calcule a integral
onde
é a região limitada pelas linhas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integração dupla usando mudança de variáveis. A gente tem que calcular a integral dupla da função $ y \sin(y^{2} - x) $ sobre a região $ R $, que é limitada por $ y = \sqrt{x} $, $ x = 2 $ e $ y = 0 $. Para isso, vamos usar a mudança de variáveis onde $ x = v $ e $ y = \sqrt{u + v} $. Vamos precisar entender como fazer essa mudança, ajustar os limites de integração e calcular o jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que foi dada: $ x = v $ e $ y = \sqrt{u + v} $. Isso significa que estamos modificando as variáveis originais $ x $ e $ y $ para novas variáveis $ u $ e $ v $. Precisamos expressar $ u $ e $ v $ em termos de $ x $ e $ y $ para facilitar a transformação.
Passo 3
Com $ x = v $, já temos diretamente que $ v = x $. E com $ y = \sqrt{u + v} $, podemos elevar ao quadrado ambos os lados para achar $ y^{2} = u + v $. Como $ v = x $, então $ u = y^{2} - x $.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração na nova coordenada $ (u, v) $. A região $ R $ é limitada por $ y = \sqrt{x} $, $ x = 2 $ e $ y = 0 $.
Quando $ y = 0 $, temos $ u + v = 0 $ ($ y^{2} = u + v $), então $ u = -v $.
Quando $ y = \sqrt{x} $, novamente $ y^{2} = x $, logo $ u + v = v $ -> $ u = 0 $.
E $ x = 2 $ significa que $ v = 2 $.
Então, os limites para $ v $ vão de $ v = 0 $ até $ v = 2 $, e para cada $ v $, $ u $ vai de $ -v $ até $ 0 $.
Passo 5
Precisamos calcular o jacobiano da transformação. O jacobiano $ J $ é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
Com $ x = v $ e $ y = \sqrt{u + v} $, temos:
Então,
Como o jacobiano é negativo, vamos usar o valor absoluto dele na integral.
Passo 6
Agora, vamos reescrever a integral original na nova coordenada:
Simplificando o valor absoluto do jacobiano:
Isso simplifica para:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em $ u $:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar em $ v $:
Calculando cada parte:
Então,
Resposta
A integral é igual a $ -1 + \frac{\sin(2)}{2} $.