Usando a mudança de variáveis x=v e y=raizu+v, calcule a integral
integral duplaR y sen(y^2-x) d A
onde R é a região limitada pelas linhas y=raizx, x=2 e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração dupla usando mudança de variáveis. A gente tem que calcular a integral dupla da função $ y \sin(y^{2} - x) $ sobre a região $ R $, que é limitada por $ y = \sqrt{x} $, $ x = 2 $ e $ y = 0 $. Para isso, vamos usar a mudança de variáveis onde $ x = v $ e $ y = \sqrt{u + v} $. Vamos precisar entender como fazer essa mudança, ajustar os limites de integração e calcular o jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que foi dada: $ x = v $ e $ y = \sqrt{u + v} $. Isso significa que estamos modificando as variáveis originais $ x $ e $ y $ para novas variáveis $ u $ e $ v $. Precisamos expressar $ u $ e $ v $ em termos de $ x $ e $ y $ para facilitar a transformação.

Passo 3

Com $ x = v $, já temos diretamente que $ v = x $. E com $ y = \sqrt{u + v} $, podemos elevar ao quadrado ambos os lados para achar $ y^{2} = u + v $. Como $ v = x $, então $ u = y^{2} - x $.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração na nova coordenada $ (u, v) $. A região $ R $ é limitada por $ y = \sqrt{x} $, $ x = 2 $ e $ y = 0 $.
Quando $ y = 0 $, temos $ u + v = 0 $ ($ y^{2} = u + v $), então $ u = -v $.
Quando $ y = \sqrt{x} $, novamente $ y^{2} = x $, logo $ u + v = v $ -> $ u = 0 $.
E $ x = 2 $ significa que $ v = 2 $.
Então, os limites para $ v $ vão de $ v = 0 $ até $ v = 2 $, e para cada $ v $, $ u $ vai de $ -v $ até $ 0 $.

Passo 5

Precisamos calcular o jacobiano da transformação. O jacobiano $ J $ é dado pelo determinante da matriz das derivadas parciais:
J
Com $ x = v $ e $ y = \sqrt{u + v} $, temos:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
x = v
Então,
y = raizu + v
Como o jacobiano é negativo, vamos usar o valor absoluto dele na integral.

Passo 6

Agora, vamos reescrever a integral original na nova coordenada:
integral duplaR y sin(y^2 - x) , dA = integralv=0^2 integralu=-v^0 raizu + v sin(u) | -12(u + v)^-1/2 | du , dv
Simplificando o valor absoluto do jacobiano:
= integral0^2 integral-v^0 raizu + v sin(u) cdot 12(u + v)^-1/2 du , dv
Isso simplifica para:
= 12 integral0^2 integral-v^0 sin(u) , du , dv

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em $ u $:
u
Então, a integral fica:
integral-v^0 sin(u) , du = [-cos(u)]-v^0 = -cos(0) + cos(-v) = -1 + cos(v)

Passo 8

Agora, vamos integrar em $ v $:
v
Calculando cada parte:
12 [ integral0^2 -1 , dv + integral0^2 cos(v) , dv ]
integral0^2 -1 , dv = -v |0^2 = -2
Então,
integral0^2 cos(v) , dv = sin(v) |0^2 = sin(2) - 0 = sin(2)

Resposta

A integral é igual a $ -1 + \frac{\sin(2)}{2} $.

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