Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pede (a) mostrar que ele é conservativo, (b) encontrar uma função potencial
e (c) usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular
em que
em que
Passo 2
Para verificar se
é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas de
Como
em todo
, que é simplesmente conexo,
é conservativo.
Passo 3
Por ser conservativo, existe
tal que
. Então
Integrando em
:
em que
é função somente de
. Agora
deve ser igual a
. Isso dá
Desprezando a constante
, obtemos
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
Como
e
, temos
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