Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular \int_{C} \vec{F} d r, onde C é a curva indicada:
\vec{F}(x, y)=\left(e^{2 y}-2 x y\right) \vec{i}+\left(2 x e^{2 y}-x^{2}+1\right) \vec{j} ; C: r(t)=\left(t e^{t},(1+t)\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\bigl(e^{2y}-2xy\bigr)\,\vec{i}+\bigl(2x e^{2y}-x^{2}+1\bigr)\,\vec{j}
e pede (a) mostrar que ele é conservativo, (b) encontrar uma função potencial \varphi(x,y) e (c) usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para calcular \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r
em que
C:\;r(t)=\bigl(t e^{t},\,1+t\bigr),\quad 0\le t\le1.

Passo 2

Para verificar se \vec{F} é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas de
P(x,y)=e^{2y}-2xy,\quad Q(x,y)=2x e^{2y}-x^{2}+1.
\frac{\partial P}{\partial y} =2e^{2y}-2x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =2e^{2y}-2x.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Por ser conservativo, existe \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)=\vec{F}. Então
\phi_x(x,y)=P(x,y)=e^{2y}-2xy.
Integrando em x:
\varphi(x,y) =\int\bigl(e^{2y}-2xy\bigr)\,dx = x e^{2y}-x^{2}y + h(y),
em que h é função somente de y. Agora
\phi_y(x,y) =2x e^{2y}-x^{2}+h'(y)
deve ser igual a Q(x,y)=2x e^{2y}-x^{2}+1. Isso dá
h'(y)=1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y+C.
Desprezando a constante C, obtemos
\varphi(x,y)=x e^{2y}-x^{2}y+y.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r =\varphi\bigl(r(1)\bigr)-\varphi\bigl(r(0)\bigr).
Como r(0)=(0,1) e r(1)=(e,2), temos
\varphi(0,1)=0\cdot e^{2}-0+y=1, \qquad \varphi(e,2)=e\cdot e^{4}-e^{2}\cdot2+2 =e^{5}-2e^{2}+2.
Logo
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r =(e^{5}-2e^{2}+2)-1 =e^{5}-2e^{2}+1.

Resposta

\displaystyle e^{5}-2e^{2}+1

Exercícios relacionados