Calcule as integrais de linha:
\int_{C} y^{3} d s, onde C é o traço da curva parametrizada \alpha(t)=\left(t^{3}, t\right), 0 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}y^{3}\,ds
onde C é a curva dada pela parametrização \alpha(t)=(t^{3},t), para 0\le t\le2.
Isso faz parte do conteúdo de integrais de linha escalares, em que usamos ds para medir comprimento de arco.

Passo 2

Para achar ds precisamos de \alpha'(t):
\alpha'(t)=(3t^{2},\,1),
então
ds=\|\alpha'(t)\|\,dt =\sqrt{(3t^{2})^{2}+1^{2}}\;dt =\sqrt{9t^{4}+1}\;dt.

Passo 3

Na parametrização, y(t)=t, logo y^{3}=t^{3}. Substituindo em \int_{C}y^{3}\,ds obtemos
\int_{0}^{2}t^{3}\,\sqrt{9t^{4}+1}\;dt.

Passo 4

Fazemos a substituição
u=9t^{4}+1 \quad\Longrightarrow\quad du=36t^{3}\,dt \quad\Longrightarrow\quad t^{3}\,dt=\frac{du}{36}.
Quando t=0, u=1; quando t=2, u=9\cdot16+1=145. A integral vira
\int_{0}^{2}t^{3}\sqrt{9t^{4}+1}\,dt =\frac{1}{36}\int_{1}^{145}u^{\tfrac12}\,du.

Passo 5

Calculamos
\int u^{\tfrac12}\,du =\frac{2}{3}u^{\tfrac32},
logo
\frac{1}{36}\int_{1}^{145}u^{\tfrac12}\,du =\frac{1}{36}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{\tfrac32}\Bigr]_{1}^{145} =\frac{2}{108}\bigl(145^{\tfrac32}-1^{\tfrac32}\bigr) =\frac{1}{54}\bigl(145\sqrt{145}-1\bigr).

Resposta

\frac{145\sqrt{145}-1}{54}

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