Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(a x^{2} y+y^{3}+1\right) \vec{i}+\left(2 x^{3}+b x y^{2}+2\right) \vec{j}, em que a e b são constantes.
(a) Determine valores de a e b para os quais \vec{F} é um campo conservativo.
(b) Para estes valores de a e b, encontre uma função potencial do campo \vec{F}.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\bigl(P(x,y)\bigr)\,\vec{i}+\bigl(Q(x,y)\bigr)\,\vec{j},
onde
P(x,y)=a x^{2}y+y^{3}+1, \quad Q(x,y)=2x^{3}+b x y^{2}+2.
O conteúdo é teste de campo conservativo em \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conexo) e, em seguida, encontrar a função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 2

Para que \vec{F} seja conservativo precisamos ter
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}
em todo (x,y). Calculamos cada derivada:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a x^{2}y+y^{3}+1\bigr) = a x^{2}+3y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{3}+b x y^{2}+2\bigr) =6x^{2}+b y^{2}.

Passo 3

Igualando coeficientes de x^{2} e y^{2} em
a x^{2}+3y^{2}=6x^{2}+b y^{2}
vemos que
a=6 \quad\text{e}\quad 3=b.

Passo 4

Com a=6 e b=3, nosso campo é conservativo. Para achar a potencial \varphi(x,y) integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) =\int\bigl(6x^{2}y+y^{3}+1\bigr)\,dx =6y\int x^{2}dx +\int y^{3}dx +\int 1\,dx +h(y)
\varphi(x,y) =6y\cdot\frac{x^{3}}{3}+y^{3}x +x +h(y) =2x^{3}y +x y^{3}+x +h(y).

Passo 5

Impondo \partial\varphi/\partial y=Q, temos
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =2x^{3}+3x y^{2}+h'(y) \stackrel!=2x^{3}+3x y^{2}+2,
logo h'(y)=2 e h(y)=2y+C. Então uma função potencial válida é
\varphi(x,y)=2x^{3}y +x y^{3}+x +2y +C.

Resposta

a) a=6 e b=3.
b) Uma função potencial é
\varphi(x,y)=2x^{3}y +x y^{3}+x +2y +C.

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