Mostre que F é um campo vetorial conservativo. Então determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=sen y i+x cos y j-sen z k

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que o campo vetorial F(x,y,z)=sin y,i+xcos y,j-sin z,k é conservativo e, em seguida, encontrar uma função escalar f(x,y,z) tal que F=nabla f. O conteúdo aqui envolve o teste de conservatividade (rotacional nulo) e a construção da função potencial.

Passo 2

Um campo vetorial F é conservativo se o seu rotacional é o vetor nulo em um domínio simplesmente conexo. Vamos calcular nablatimesF.
Usamos a definição de rotacional em coordenadas cartesianas:
nablatimesF= i & j & k partial/partial x & partial/partial y & partial/partial z sin y & xcos y & -sin z
Calculando cada componente:
  • Componente (\mathbf{i}: (\partial/\partial y)(-\sin z)-(\partial/\partial z)(x\cos y)=0-0=0.
  • Componente (\mathbf{j}: (\partial/\partial z)(\sin y)-(\partial/\partial x)(-\sin z)=0-0=0.
  • Componente (\mathbf{k}: (\partial/\partial x)(x\cos y)-(\partial/\partial y)(\sin y)=\cos y-\cos y=0.

Passo 3

Como todas as componentes do rotacional são zero, temos nablatimesF=0. Como o domínio é R^3 (simplesmente conexo), concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial f, usamos que
partial fpartial x=sin y, partial fpartial y=xcos y, partial fpartial z=-sin z
Integrando partial f/partial x=sin y em relação a x, obtemos
f(x,y,z)=xsin y+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária.
Derivando essa expressão em relação a y e igualando a partial f/partial y=xcos y, temos
partialpartial yl(xsin y+g(y,z)r)=xcos y+gy(y,z)=xcos y,
logo gy(y,z)=0, o que implica g(y,z)=h(z).
Finalmente, derivando em relação a z:
partial fpartial z=h'(z)=-sin z,
integramos para achar h(z)=cos z + C. Portanto, uma função potencial é
f(x,y,z)=xsin y+cos z + C

Resposta

f(x,y,z)=x\sin y+\cos z+C

Exercícios relacionados