Mostre que o campo vetorial
é conservativo, determine uma função
tal que
e calcule
, onde
é qualquer caminho ligando os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y, z) = (yz, xz, xy) $ é conservativo. Depois, vamos encontrar uma função $ \phi $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla \phi $ e calcular a integral desse campo ao longo de qualquer caminho que liga os pontos $ (1,1,1) $ e $ (2,4,8) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla \phi $. Uma maneira de verificar se $ \mathbf{F} $ é conservativo é calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $ e ver se ele é zero. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $. O rotacional de $ \mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) $ é dado por:
Substituindo $ F_x = yz $, $ F_y = xz $, e $ F_z = xy $:
Calculando as derivadas:
Como o rotacional de $ \mathbf{F} $ é zero, concluímos que $ \mathbf{F} $ é um campo conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que $ \mathbf{F} $ é conservativo, existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ \mathbf{F} = \nabla \phi $. Vamos encontrar $ \phi $.
O gradiente de $ \phi $ é dado por:
Integrando $ \frac{\partial \phi}{\partial x} = yz $ em relação a $ x $:
Agora, derivamos $ \phi $ em relação a $ y $:
Isso implica que $ \frac{\partial g}{\partial y} = 0 $, então $ g $ não depende de $ y $, ou seja, $ g(z) $.
Agora, derivamos $ \phi $ em relação a $ z $:
Isso implica que $ \frac{d g}{d z} = 0 $, então $ g $ é constante. Podemos considerar $ g = 0 $.
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Por último, vamos calcular a integral de $ \mathbf{F} $ ao longo do caminho $ c $ que liga $ (1,1,1) $ a $ (2,4,8) $. Como $ \mathbf{F} $ é conservativo, a integral depende apenas dos pontos inicial e final e é dada por:
Calculando $ \phi $ nos pontos:
Então:
Resposta
A integral de $ \mathbf{F} $ ao longo do caminho $ c $ é igual a 63.