Mostre que o campo vetorial F(x, y)=(e^x+y+1, e^x+y) é conservativo, determine uma função phi: R^2 R tal que F=grad(phi) e calcule integralc F cdot d r, onde c é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-1 / 2)^2=1 / 4, com x >= 1, que vai de (1,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o campo vetorial F(x,y)=(e^x+y+1,,e^x+y) é conservativo, encontrar um potencial phi: R^2to R tal que nablaphi=F e, por fim, calcular integralcFcdot d r onde c é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-tfrac12)^2=tfrac14, com x>=1, indo de (1,0) até (1,1). O conteúdo principal é campo conservativo e o teorema fundamental do cálculo para campos vetoriais.

Passo 2

Para verificar que F é conservativo, usamos que num domínio simplesmente conexo (como R^2) basta checar que as derivadas parciais mistas coincidem. Escrevendo P(x,y)=e^x+y+1 e Q(x,y)=e^x+y, temos
partial Ppartial y=e^x+y, partial Qpartial x=e^x+y
Como Py=Qx, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial phi, integramos P=phix em relação a x:
phi(x,y)=integral(e^x+y+1),dx=e^x+y+x+h(y), onde h(y) é função de y só. Agora igualamos phiy a Q:
phiy=e^x+y+h'(y)=Q=e^x+y Longrightarrow h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=constante Podemos tomar a constante igual a zero sem perda de generalidade. Logo,
phi(x,y)=e^x+y+x

Passo 4

Pelo teorema fundamental de gradiente, a integral de F ao longo de c é
integralcFcdot d r=phil(1,1r)-phil(1,0r)

Passo 5

Calculando cada valor:
phi(1,1)=e^2+1,phi(1,0)=e^1+1=e+1

Passo 6

Logo,
integralcFcdot d r=(e^2+1)-(e+1)=e^2-e

Resposta

e^2 - e

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