Mostre que o campo vetorial
é conservativo, determine uma função
tal que
e calcule
, onde
é o arco de circunferência
, com
, que vai de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o campo vetorial
é conservativo, encontrar um potencial
tal que
e, por fim, calcular
onde
é o arco de circunferência
, com
, indo de
até
. O conteúdo principal é campo conservativo e o teorema fundamental do cálculo para campos vetoriais.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, usamos que num domínio simplesmente conexo (como
) basta checar que as derivadas parciais mistas coincidem. Escrevendo
e
, temos
Como
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
Passo 4
Pelo teorema fundamental de gradiente, a integral de
ao longo de
é
Passo 5
Calculando cada valor:
Passo 6
Logo,
Resposta
e^2 - e