Determine o limite e identifique as assíntotas verticais da função f(x)= 2 x+3x^2-4.

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar a função f(x)=2x+3x^2-4, calcular um limite que revela a assíntota horizontal e ainda identificar as assíntotas verticais. O conteúdo aqui é limites de funções racionais e análise de assíntotas, e vamos precisar usar comparação de graus de polinômios e limites laterais em pontos onde o denominador zera.

Passo 2

Para achar a assíntota horizontal, calculamos o limite quando xto+infty (o mesmo vale para xto-infty em funções racionais de grau do numerador menor que do denominador). Como o numerador tem grau 1 e o denominador grau 2, intuitivamente o quociente tende a zero. Formalizando:
limxtoinfty2x+3x^2-4= limxtoinftyxl(2+3/xr)x^2l(1-4/x^2r)= limxtoinfty2+3/xx,(1-4/x^2)=0

Passo 3

Agora, para achar as assíntotas verticais, achamos onde o denominador zera:
x^2-4=0implies x=2ou x=-2
Precisamos ver o comportamento de f(x) perto desses pontos.

Passo 4

Estudando x=2:
  • Quando xto2^-, o fator x-2 é negativo pequeno e x+2 positivo, então o denominador (x-2)(x+2) é negativo pequeno. O numerador 2x+3 em xapprox2 é 7, positivo. Logo f(x)to-infty.
  • Quando xto2^+, x-2 é positivo pequeno e x+2 positivo, o denominador é positivo pequeno; com numerador positivo, f(x)to+infty.
    Isso mostra uma assíntota vertical em x=2.

Passo 5

Estudando x=-2:
  • Quando xto-2^-, temos x-2<0 e x+2<0 (pequeno em módulo), então o denominador é positivo pequeno. O numerador 2x+3 em xapprox-2 é -1, negativo. Logo f(x)to-infty.
  • Quando xto-2^+, x-2<0 e x+2>0 (pequeno), o denominador é negativo pequeno; numerador negativo sobre denominador negativo dá +infty.
    Isso confirma outra assíntota vertical em x=-2.

Resposta

limxtoinftyf(x)=0. As assíntotas verticais são em x=2 e x=-2.

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