Determine o limite e identifique as assíntotas verticais da função
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente estudar a função
, calcular um limite que revela a assíntota horizontal e ainda identificar as assíntotas verticais. O conteúdo aqui é limites de funções racionais e análise de assíntotas, e vamos precisar usar comparação de graus de polinômios e limites laterais em pontos onde o denominador zera.
Passo 2
Para achar a assíntota horizontal, calculamos o limite quando
(o mesmo vale para
em funções racionais de grau do numerador menor que do denominador). Como o numerador tem grau 1 e o denominador grau 2, intuitivamente o quociente tende a zero. Formalizando:
Passo 3
Agora, para achar as assíntotas verticais, achamos onde o denominador zera:
Precisamos ver o comportamento de
Passo 4
Estudando
:
- Quando
, o fator é negativo pequeno e positivo, então o denominador é negativo pequeno. O numerador em é , positivo. Logo . - Quando
, é positivo pequeno e positivo, o denominador é positivo pequeno; com numerador positivo, .
Isso mostra uma assíntota vertical em.
Passo 5
Estudando
:
- Quando
, temos e (pequeno em módulo), então o denominador é positivo pequeno. O numerador em é , negativo. Logo . - Quando
, e (pequeno), o denominador é negativo pequeno; numerador negativo sobre denominador negativo dá .
Isso confirma outra assíntota vertical em.