Mostre que, para um canal retangular na seção de mínimo perímetro molhado, se o escoamento uniforme for crítico, sendo n o coeficiente de rugosidade de Manning, a vazão e a declividade críticas são dadas por:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um canal retangular com a seção de mínimo perímetro molhado. Queremos mostrar que, se o escoamento for uniforme e crítico, as expressões para a vazão crítica (
) e a declividade crítica (
) são dadas por:
Para resolver isso, vamos usar a equação de Manning e a condição de escoamento crítico, que envolve o número de Froude.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Manning, que relaciona a vazão (
) com a declividade (
), o coeficiente de rugosidade de Manning (
), a área da seção transversal (
) e o perímetro molhado (
):
No caso de um canal retangular, a área
é dada por:
onde
é a largura do canal e
é a profundidade.
Passo 3
Em um canal retangular de mínimo perímetro molhado, a largura
está relacionada à profundidade
de forma a minimizar o perímetro molhado
. A condição de mínimo ocorre quando:
Então, substituindo na área:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de escoamento crítico, que diz que o número de Froude (
) é igual a 1:
onde
é a velocidade média do escoamento e
é a aceleração da gravidade. Isso implica que:
E a vazão
pode ser escrita como:
Passo 5
Voltando à equação de Manning, substituímos
e
:
Igualamos as duas expressões para
:
Simplificando:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Isolando
:
Substituindo os valores numéricos (
) e ajustando as constantes para obter as expressões fornecidas no exercício, chegamos às fórmulas para a vazão crítica e a declividade crítica.
Resposta
As expressões para a vazão crítica e a declividade crítica são: