Água escoa ocupando toda a seção de um canal semi-hexagonal revestido de concreto, com largura de fundo b. A vazão é 12 m^3 / s. Determine o valor de b se o número de Froude do escoamento for 0,65.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre água escoando por um canal que tem a seção meio-hexagonal e revestido de concreto. A largura da base desse canal é . Sabemos que a vazão da água é e o número de Froude do escoamento é 0,65. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica dos fluidos, como a área da seção do canal, a velocidade da água e o número de Froude. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do canal. É um semi-hexágono, ou seja, metade de um hexágono. A largura da base é , então precisamos encontrar a altura desse semi-hexágono em termos de .
Sabemos que, em um hexágono regular, a altura completa seria . Mas como temos apenas um semi-hexágono, a altura que nos interessa é a mesma, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção do canal. A área A = 12 times 3raiz32 b^2 = 3raiz34 b^2 de um semi-hexágono pode ser calculada como metade da área de um hexágono completo.
A área de um hexágono completo é , então a área do semi-hexágono será:

Passo 4

Sabemos que a vazão Q = A times V é igual à área 12 = 3raiz34 b^2 times V multiplicada pela velocidade da água:
Dado que e já encontramos , podemos escrever:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar a velocidade Fr = Vraizg D com o número de Froude D = h = raiz32 b . A fórmula do número de Froude é:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a profundidade hidráulica, que, para canais de seção regular, pode ser associada à altura
Como estamos lidando com um canal semi-hexagonal, a profundidade pode ser considerada igual a :

Passo 6

Vamos substituir 0,65 = Vraiz9,81 times raiz32 b na fórmula do número de Froude:
V = 0,65 times raiz9,81 times raiz32 b
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, voltamos à equação da vazão:
12 = 3raiz34 b^2 times (0,65 times raiz9,81 times raiz32 b)
Vamos simplificar essa equação para resolver 12 = 3raiz34 times 0,65 times b^2 times raiz9,81 times raiz32 b . Primeiro, vamos multiplicar os termos:

Passo 8

Vamos calcular os constantes multiplicativos:
3raiz34 times 0,65 approx 0,845
E dentro da raiz:
9,81 times raiz32 approx 8,496
Então, a equação fica:
12 = 0,845 times b^2 times raiz8,496 times b

Passo 9

Vamos simplificar a raiz:
raiz8,496 times b = raiz8,496 times raizb approx 2,915 times raizb
Substituindo de volta:
12 = 0,845 times b^2 times 2,915 times raizb approx 2,459 times b^2,5

Passo 10

Agora, vamos isolar b^2,5 = 122,459 approx 4,878 :
b = (4,878)^25 approx 2,0 , m
Para encontrar , tomamos ambos os lados elevados a :

Resposta

A largura de fundo do canal é aproximadamente 2,0 metros.

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