Mostre que
.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um problema de teoria de conjuntos. O enunciado pede para mostrar que
Conteúdo envolvido: união (∪), interseção (∩) e complemento (suposto por “c”). Vamos usar a ideia de “elemento genérico” e as propriedades de complemento (C e Cᶜ são disjuntos) para provar que não existe elemento que pertença ao mesmo tempo a essas partes.
Passo 2
Suponha, para começar, que exista um elemento
que pertença ao lado esquerdo:
Isso significa que duas coisas acontecem ao mesmo tempo:
-
. -
.
Passo 3
Do item 1, por ser união,
está ou em
ou em
. Vamos olhar cada caso:
Caso 1:
.
- Aí
.
Caso 2:
.
- De novo,
.
Em qualquer dos dois subcasos, concluímos que
Passo 4
Por outro lado, do item 2 temos
. Em especial disso vem
Ou seja,
está em
e ao mesmo tempo em
.
Passo 5
Mas não existe elemento que seja simultaneamente de um conjunto e do seu complemento:
Logo chegamos a uma contradição. Isso mostra que nossa suposição de que existia tal
é falsa.