Mostre que ((A cap B^c cap C) cup(A^c cap B cap C)) cap(A cap B cap C^c)=varnothing.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um problema de teoria de conjuntos. O enunciado pede para mostrar que
l((A cap B^c cap C);cup;(A^c cap B cap C)r);cap;(A cap B cap C^c) ;=;varnothing
Conteúdo envolvido: união (∪), interseção (∩) e complemento (suposto por “c”). Vamos usar a ideia de “elemento genérico” e as propriedades de complemento (C e Cᶜ são disjuntos) para provar que não existe elemento que pertença ao mesmo tempo a essas partes.

Passo 2

Suponha, para começar, que exista um elemento x ;in; l((A cap B^c cap C);cup;(A^c cap B cap C)r);cap;(A cap B cap C^c) que pertença ao lado esquerdo:
Isso significa que duas coisas acontecem ao mesmo tempo:
  1. .
  2. .

Passo 3

Do item 1, por ser união, x in C está ou em ou em . Vamos olhar cada caso:
Caso 1: .
  • .
Caso 2: .
  • De novo, .
Em qualquer dos dois subcasos, concluímos que

Passo 4

Por outro lado, do item 2 temos x in C^c . Em especial disso vem
Ou seja, está em e ao mesmo tempo em .

Passo 5

Mas não existe elemento que seja simultaneamente de um conjunto e do seu complemento:
C cap C^c = varnothing
Logo chegamos a uma contradição. Isso mostra que nossa suposição de que existia tal é falsa.

Resposta

l((A cap B^c cap C);cup;(A^c cap B cap C)r);cap;(A cap B cap C^c) ;=;varnothing

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