Prove que para quaisquer A e B subconjuntos de E :
v) A subset B Leftrightarrow CE A supset CE B.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Prove que para quaisquer A subset B ;Long<=ftrightarrow; CEA supset CEB e subconjuntos de vale
onde é o complemento de em (ou seja, todos os que não estão em ).
Conteúdo: teoria de conjuntos (subconjunto, complementar) e lógica (implicação e contrarrecíproca).
O que vamos precisar:
  1. A definição de : .
  2. A definição de complemento: significa e .
  3. Saber que a implicação é logicamente equivalente à sua contrarrecíproca .

Passo 2

Prova de forall xin E,;(xin A;Longrightarrow;xin B).
  1. Suponha forall xin E,;(xin CE B;Longrightarrow;xin CE A). Então, por definição, xin Ee xnotin B
  2. Queremos mostrar l(xnotin Br);Longrightarrow;l(xnotin Ar), ou seja xin CE A
  3. Pegue um . Por definição, isso é
  4. Mas da nossa suposição temos a contrarrecíproca:
  5. Logo, desse segue . E como , concluímos
  6. Assim, mostramos que se então , ou seja .

Passo 3

Prova de forall xin E,;(xin CE B;Longrightarrow;xin CE A).
  1. Suponha agora forall xin E,;(xin A;Longrightarrow;xin B), isto é
  2. Queremos , ou seja
  3. Tome um . Vamos usar contrarrecíproca de novo. Se, por absurdo, , então .
  4. Como , desse seguiria , i.e.\ .
  5. Mas isso contraria . Portanto a hipótese cai por terra, e deve ser .
  6. Concluímos: sempre que temos , logo .

Resposta

Mostramos as duas direções da equivalência, logo está provado que
A subset B ;Long<=ftrightarrow; CEA supset CEB

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