Prove que para quaisquer
e
subconjuntos de
:
v)
.
v)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Prove que para quaisquer
e
subconjuntos de
vale
onde
é o complemento de
em
(ou seja, todos os
que não estão em
).
Conteúdo: teoria de conjuntos (subconjunto, complementar) e lógica (implicação e contrarrecíproca).
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de conjuntos (subconjunto, complementar) e lógica (implicação e contrarrecíproca).
O que vamos precisar:
- A definição de
: . - A definição de complemento:
significa e . - Saber que a implicação
é logicamente equivalente à sua contrarrecíproca .
Passo 2
Prova de
.
- Suponha
. Então, por definição, - Queremos mostrar
, ou seja - Pegue um
. Por definição, isso é - Mas da nossa suposição
temos a contrarrecíproca: - Logo, desse
segue . E como , concluímos - Assim, mostramos que se
então , ou seja .
Passo 3
Prova de
.
- Suponha agora
, isto é - Queremos
, ou seja - Tome um
. Vamos usar contrarrecíproca de novo. Se, por absurdo, , então . - Como
, desse seguiria , i.e.\ . - Mas isso contraria
. Portanto a hipótese cai por terra, e deve ser . - Concluímos: sempre que
temos , logo .
Resposta
Mostramos as duas direções da equivalência, logo está provado que