Mostre que, no caso de uma colisão elástica de uma partícula de massa
com uma partícula de massa
, inicialmente em repouso,
, quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de colisão elástica envolvendo duas partículas. A primeira tem massa
e a segunda
, que está parada inicialmente. Queremos mostrar que, se as duas massas forem iguais (
), a soma dos ângulos após a colisão (
) é igual a
radianos (ou 90 graus). Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de conservação de momento e energia, típicas das colisões elásticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão elástica, tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. Isso significa que, antes e depois da colisão, a quantidade de movimento e a energia total do sistema permanecem as mesmas.
Passo 3
Vamos considerar que a partícula
está se movendo com uma certa velocidade antes da colisão, e
está parada. Após a colisão,
se move com velocidade
formando um ângulo
, e
começa a se mover com velocidade
formando um ângulo
.
Passo 4
Aplicando a conservação do momento na direção horizontal (x), temos:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora, aplicamos a conservação do momento na direção vertical (y). Antes da colisão, não há movimento na vertical, então:
Novamente, com
:
Ou seja:
Passo 6
Agora, consideramos a conservação da energia cinética:
Com
, simplifica para:
Passo 7
Observamos que a equação
se assemelha à relação pitagórica, indicando que os vetores de velocidade formam um triângulo retângulo. Portanto, o ângulo entre
e
deve ser de
graus, ou seja:
Resposta
Assim, demonstramos que, quando
em uma colisão elástica, a soma dos ângulos
e
é igual a
radianos (90 graus).