Mostre que, no caso de uma colisão elástica de uma partícula de massa m1 com uma partícula de massa m2, inicialmente em repouso, theta1+theta2=pi / 2, quando m1=m2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de colisão elástica envolvendo duas partículas. A primeira tem massa m1 e a segunda m2, que está parada inicialmente. Queremos mostrar que, se as duas massas forem iguais ( m1 = m2), a soma dos ângulos após a colisão ( theta1 + theta2) é igual a pi/2 radianos (ou 90 graus). Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de conservação de momento e energia, típicas das colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma colisão elástica, tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. Isso significa que, antes e depois da colisão, a quantidade de movimento e a energia total do sistema permanecem as mesmas.

Passo 3

Vamos considerar que a partícula m1 está se movendo com uma certa velocidade antes da colisão, e m2 está parada. Após a colisão, m1 se move com velocidade v1 formando um ângulo theta1, e m2 começa a se mover com velocidade v2 formando um ângulo theta2.

Passo 4

Aplicando a conservação do momento na direção horizontal (x), temos:
m1 u = m1 v1 costheta1 + m2 v2 costheta2
Como m1 = m2, podemos simplificar para:
u = v1 costheta1 + v2 costheta2

Passo 5

Agora, aplicamos a conservação do momento na direção vertical (y). Antes da colisão, não há movimento na vertical, então:
0 = m1 v1 sintheta1 - m2 v2 sintheta2
Novamente, com m1 = m2:
0 = v1 sintheta1 - v2 sintheta2
Ou seja:
v1 sintheta1 = v2 sintheta2

Passo 6

Agora, consideramos a conservação da energia cinética:
12 m1 u^2 = 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2
Com m1 = m2, simplifica para:
u^2 = v1^2 + v2^2

Passo 7

Observamos que a equação v1^2 + v2^2 = u^2 se assemelha à relação pitagórica, indicando que os vetores de velocidade formam um triângulo retângulo. Portanto, o ângulo entre v1 e v2 deve ser de 90 graus, ou seja:
theta1 + theta2 = pi2

Resposta

Assim, demonstramos que, quando m1 = m2 em uma colisão elástica, a soma dos ângulos theta1 e theta2 é igual a pi/2 radianos (90 graus).

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