Mostre que, no caso de uma colisão elástica de uma partícula de massa m1 com uma partícula de massa m2, inicialmente em repouso, theta1 pode assumir quaisquer valores entre 0 e pi quando m1.

Passo 1

Então, galera! Vamos falar sobre colisões elásticas, que é um assunto de física. O exercício pede para mostrarmos que, quando uma partícula de massa $ m_{1} $ colide elasticamente com outra de massa $ m_{2} $ que está inicialmente parada, o ângulo $ \theta_{1} $ que a primeira partícula faz após a colisão pode variar entre 0 e $ \pi $ (ou seja, de 0 a 180 graus) quando $ m_{1} < m_{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de conservação de momentum e de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a situação. Temos duas partículas: a partícula 1 com massa $ m_{1} $ e a partícula 2 com massa $ m_{2} $. Inicialmente, a partícula 1 está se movendo com uma velocidade $ v_{1} $ e a partícula 2 está parada. Após a colisão, a partícula 1 se move com uma velocidade $ v_{1}’ $ fazendo um ângulo $ \theta_{1} $ com a direção original, e a partícula 2 se move com uma velocidade $ v_{2}’ $ fazendo um ângulo $ \theta_{2} $.

Passo 3

Como a colisão é elástica, devemos aplicar a conservação da quantidade de movimento e da energia cinética.
Conservação do momentum:
Vamos considerar as componentes do momentum nas direções x e y.
  • Na direção x:
    m1 v1 = m1 v1' cos(theta1) + m2 v2' cos(theta2)
  • Na direção y:
    0 = m1 v1' sin(theta1) - m2 v2' sin(theta2)
Conservação da energia cinética:
12 m1 v1^2 = 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2

Passo 4

Para simplificar, podemos usar o fato de que em colisões elásticas entre duas partículas, os traços das velocidades após a colisão estão relacionados aos ângulos de deflexão. Uma relação importante que podemos usar é:
tan(theta1) = m2 sin(theta2)m1 + m2 cos(theta2)
Quando $ m_{1} < m_{2} $, essa equação mostra que $ \theta_{1} $ pode variar de 0 a $ \pi $, já que $ \theta_{2} $ pode assumir valores que fazem o denominador variar de positivo a negativo, permitindo que $ \theta_{1} $ cubra todo o intervalo entre 0 e 180 graus.

Passo 5

Além disso, analisando graficamente ou através de limites, podemos ver que quando $ m_{1} $ é menor que $ m_{2} $, não há restrição no ângulo $ \theta_{1} $, permitindo que a partícula 1 se desvie em qualquer direção após a colisão.

Resposta

Portanto, demonstramos que, em uma colisão elástica entre uma partícula de massa $ m_{1} $ com $ m_{2} $ inicialmente em repouso, quando $ m_{1} < m_{2} $, o ângulo $ \theta_{1} $ pode variar entre 0 e $ \pi $.

Exercícios relacionados