Mostre que, no caso de uma colisão elástica de uma partícula de massa
com uma partícula de massa
, inicialmente em repouso,
pode assumir quaisquer valores entre 0 e
quando
.
Passo 1
Então, galera! Vamos falar sobre colisões elásticas, que é um assunto de física. O exercício pede para mostrarmos que, quando uma partícula de massa $ m_{1} $ colide elasticamente com outra de massa $ m_{2} $ que está inicialmente parada, o ângulo $ \theta_{1} $ que a primeira partícula faz após a colisão pode variar entre 0 e $ \pi $ (ou seja, de 0 a 180 graus) quando $ m_{1} < m_{2} $. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de conservação de momentum e de energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a situação. Temos duas partículas: a partícula 1 com massa $ m_{1} $ e a partícula 2 com massa $ m_{2} $. Inicialmente, a partícula 1 está se movendo com uma velocidade $ v_{1} $ e a partícula 2 está parada. Após a colisão, a partícula 1 se move com uma velocidade $ v_{1}’ $ fazendo um ângulo $ \theta_{1} $ com a direção original, e a partícula 2 se move com uma velocidade $ v_{2}’ $ fazendo um ângulo $ \theta_{2} $.
Passo 3
Como a colisão é elástica, devemos aplicar a conservação da quantidade de movimento e da energia cinética.
Conservação do momentum:
Vamos considerar as componentes do momentum nas direções x e y.
-
Na direção x:
-
Na direção y:
Conservação da energia cinética:
Passo 4
Para simplificar, podemos usar o fato de que em colisões elásticas entre duas partículas, os traços das velocidades após a colisão estão relacionados aos ângulos de deflexão. Uma relação importante que podemos usar é:
Quando $ m_{1} < m_{2} $, essa equação mostra que $ \theta_{1} $ pode variar de 0 a $ \pi $, já que $ \theta_{2} $ pode assumir valores que fazem o denominador variar de positivo a negativo, permitindo que $ \theta_{1} $ cubra todo o intervalo entre 0 e 180 graus.
Passo 5
Além disso, analisando graficamente ou através de limites, podemos ver que quando $ m_{1} $ é menor que $ m_{2} $, não há restrição no ângulo $ \theta_{1} $, permitindo que a partícula 1 se desvie em qualquer direção após a colisão.
Resposta
Portanto, demonstramos que, em uma colisão elástica entre uma partícula de massa $ m_{1} $ com $ m_{2} $ inicialmente em repouso, quando $ m_{1} < m_{2} $, o ângulo $ \theta_{1} $ pode variar entre 0 e $ \pi $.