Sendo f(x)=x. arcsen 1x, calcule f^prime(12).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = x ,cdot, arcsin!l(tfrac1xr)
e pede f'l(tfrac12r).
Para isso vamos precisar do produto de funções (regra do produto) e da cadeia (derivada de arcsin).

Passo 2

Antes de derivar, identifiquemos o domínio de f. Como aparece arcsinl(tfrac1xr), seu argumento deve satisfazer
l|tfrac1xr|<=1
ou seja
|x|>=1
Logo o domínio de f é
(-infty,-1]cup[1,infty)

Passo 3

Como tfrac12 não pertence a [,1,infty) nem a (-infty,-1], a função f não está definida em x=tfrac12.

Passo 4

Mesmo aplicando formalmente a regra do produto e a cadeia, obteríamos
f'(x) =arcsin!l(tfrac1xr) +xcdot1raiz1-(1/x)^2cdotl(-tfrac1x^2r) =arcsin!l(tfrac1xr) -1xraiz1-1/x^2,
mas ao tentar x=tfrac12 surge raiz1-4=raiz-3, inexistente nos reais.

Resposta

A derivada f'l(tfrac12r) não existe, pois tfrac12 não está no domínio de f.

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